🔥 TOUGH
📋 2023년 11월 학평 27번
마플시너지 공통수학1 0953번 TOUGH – 7단원 고차방정식, 삼차방정식 허근 ω에 대해 {ω(ω̄ − 1)}ⁿ = 256을 만족하는 자연수 n 구하기
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 7단원 · 고차방정식 |
| 🔢 문제번호 | 0953번 |
| 📋 출처 | 2023년 11월 고1 학력평가 27번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 0953번 TOUGH 허근 거듭제곱 핵심 포인트
0953번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2023년 11월 학평 27번)로, 삼차방정식 x³ − 3x² + 4x − 2 = 0의 한 허근 ω에 대해 {ω(ω̄ − 1)}ⁿ = 256을 만족하는 자연수 n을 구하는 문제입니다. 근과 계수의 관계로 식을 간소화하고 거듭제곱을 추적합니다.
① 삼차식 인수분해 — f(1) = 1 − 3 + 4 − 2 = 0이므로 조립제법으로 f(x) = (x − 1)(x² − 2x + 2)을 얻습니다.
② 허근과 근과 계수의 관계 — ω ≠ 1이므로 x² − 2x + 2 = 0의 두 허근이 ω, ω̄입니다. 근과 계수의 관계에 의해 ω + ω̄ = 2, ωω̄ = 2입니다. 따라서 ω(ω̄ − 1) = ωω̄ − ω = 2 − ω = ω̄ (∵ ω + ω̄ = 2이므로 2 − ω = ω̄)입니다.
③ ω̄ⁿ = 256 풀기 — x² − 2x + 2 = 0에서 x = 1 ± i입니다. ω̄ = 1 − i라 하면 ω̄² = (1−i)² = −2i, ω̄⁴ = (−2i)² = −4, ω̄⁸ = (−4)² = 16, ω̄¹⁶ = 16² = 256입니다. 따라서 n = 16입니다. (ω = 1 − i, ω̄ = 1 + i인 경우에도 동일하게 n = 16)
0953번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 7단원 고차방정식 TOUGH · ω(ω̄−1)=ω̄ → ω̄ⁿ=256 → ω̄²=−2i → ω̄⁴=−4 → ω̄⁸=16 → ω̄¹⁶=256 → n=16 0953번 전 과정 해설
0953번 답지 확인
