마플시너지공수1답지 0933번 행복한 1등급 수평선 교점 3개 핵심 포인트

0933번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제(2020년 11월 학평 27번)로, 직선 y = t가 y = (1/2)x² + 3과 y = −(1/2)x² + x + 5의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수가 정확히 3개가 되는 모든 실수 t의 값의 합을 구하는 문제입니다. 두 포물선의 꼭짓점과 교점을 정확히 파악한 뒤, 수평선을 위아래로 이동시키며 교점 수 변화를 분석하는 시각적 접근이 핵심입니다.

① 두 포물선의 꼭짓점 — y = (1/2)x² + 3: 아래로 볼록, 꼭짓점 (0, 3), 최솟값 3. y = −(1/2)x² + x + 5 = −(1/2)(x − 1)² + 11/2: 위로 볼록, 꼭짓점 (1, 11/2), 최댓값 11/2.

② 두 포물선의 교점 — (1/2)x² + 3 = −(1/2)x² + x + 5에서 x² − x − 2 = 0, (x + 1)(x − 2) = 0이므로 x = −1, x = 2입니다. 교점은 (−1, 7/2)과 (2, 5)입니다.

③ 교점이 3개가 되는 t 값 — (ⅰ) 아래로 볼록 포물선의 꼭짓점을 지날 때: t = 3 (접점 1 + 위로 볼록 2 = 3개), (ⅱ) 위로 볼록 포물선의 꼭짓점을 지날 때: t = 11/2 (접점 1 + 아래로 볼록 2 = 3개), (ⅲ) 교점의 y좌표를 지날 때: t = 7/2, t = 5 (각각 교차점에서 1개 + 나머지 2개 = 3개). 모든 t의 합 = 3 + 7/2 + 5 + 11/2 = 17입니다.