마플시너지공수1답지 0930번 행복한 1등급 사각형 넓이 핵심 포인트

0930번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제(2023년 3월 학평 17번)로, f(x) = ax² − 4ax + 5a + 1과 g(x) = −x² − 2ax의 꼭짓점 A, B와 f(x)의 y절편 C를 이용해 사각형 OACB의 넓이가 7일 때 양수 a를 구하는 문제입니다. 두 이차함수를 완전제곱식으로 변환해 꼭짓점 좌표를 정확히 구한 뒤, 삼각형 분할로 넓이를 계산하는 것이 핵심입니다.

발상 포인트: ① 세 점 좌표 결정 — f(x) = a(x − 2)² + a + 1이므로 꼭짓점 A(2, a+1), g(x) = −(x + a)² + a²이므로 꼭짓점 B(−a, a²), f(0) = 5a + 1이므로 y절편 C(0, 5a + 1)입니다.

② 사각형 OACB의 넓이 — 원점 O와 세 점으로 이루어진 사각형을 삼각형 OAC + 삼각형 OCB로 분할하면, S(OAC) = (1/2)(5a+1)·2 = 5a+1, S(OCB) = (1/2)(5a+1)·a = a(5a+1)/2이므로, 전체 넓이 = (5a+1)(2+a)/2 = 7입니다.

③ 이차방정식으로 a 결정 — (5a+1)(2+a) = 14에서 5a² + 11a − 12 = 0, (5a − 4)(a + 3) = 0이므로 a = 4/5 또는 a = −3입니다. a > 0이므로 a = 4/5입니다. (⑤번)