마플시너지공수1답지 0923번 서술형 두 포물선 직사각형 핵심 포인트

0923번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형으로, f(x) = −x² + 9와 g(x) = 2x² − 21의 그래프 위에 네 점 A(a, f(a)), B(a, g(a)), C(−a, g(−a)), D(−a, f(−a))를 꼭짓점으로 하는 직사각형 ABDC의 둘레가 최대일 때 넓이를 구하는 3단계 서술형 문제입니다. 두 함수의 y축 대칭성을 이용해 가로·세로를 a에 대한 식으로 표현한 뒤 이차함수 최적화로 연결하는 것이 핵심입니다. (단, 0 < a < 3)

발상 포인트: ① 둘레를 a에 대한 이차함수로 표현 — 두 함수 모두 y축 대칭이므로, 가로 AD = BC = a − (−a) = 2a이고, 세로 BA = CD = f(a) − g(a) = (−a² + 9) − (2a² − 21) = −3a² + 30입니다. 둘레 l = 2(2a + (−3a² + 30)) = −6a² + 4a + 60 = −6(a − 1/3)² + 182/3입니다.

② 둘레가 최대인 a 값 — 위로 볼록이므로, 꼭짓점 a = 1/3일 때 둘레가 최대이며, 최댓값은 182/3입니다. ③ 그때의 넓이 계산 — a = 1/3일 때: 가로 = 2 × 1/3 = 2/3, 세로 = −3 × (1/3)² + 30 = −1/3 + 30 = 89/3이므로, 넓이 = (2/3) × (89/3) = 178/9입니다.