다항식의 나눗셈에 대한 등식
A = BQ + R — 몫과 나머지의 관계 · 나누어떨어지는 조건
1. 다항식의 나눗셈에 대한 등식
다항식 A를 다항식 B(B≠0)로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라 하면 다음 등식이 성립합니다.
(단, R은 상수 또는 (R의 차수) < (B의 차수))
특히 R = 0이면 A는 B로 나누어떨어진다고 합니다.
Q, R은 각각 묶과 나머지를 뜻하는 영어 quotient와 remainder의 첫 글자를 딴 것입니다.
2. 자연수 나눗셈과의 비교
자연수 a를 자연수 b로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지를 r이라 하면 다음 등식이 성립합니다.
특히 r = 0이면 a는 b로 나누어떨어진다고 합니다. 다항식의 나눗셈에서도 이와 같은 등식이 성립합니다.
2x²+9x+7을 x+3으로 나누었을 때의 몫이 2x+3, 나머지가 −2이므로
2x²+9x+7 = (x+3)(2x+3)−2
와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 등식의 우변을 정리하면 좌변이 됨을 확인할 수 있습니다.
3. 나머지의 형태
다항식의 나눗셈에 대한 등식을 세울 때, 나머지를 모르는 경우에는 나누는 식의 차수에 따라 나머지를 다른 꼴로 놓아야 합니다.
x에 대한 다항식을 x에 대한 삼차식으로 나누었을 때의 나머지는 ax²+bx+c (a, b, c는 상수) 꼴로 놓습니다.
x에 대한 다항식을 x에 대한 일차식으로 나누었을 때의 나머지는 x에 대한 일차식 또는 상수입니다. 즉 나머지를 ax+b(a, b는 상수)로 놓으면 (ⅰ) a≠0 → 나머지는 일차식, (ⅱ) a=0 → 나머지는 상수가 됩니다.
자주 틀리는 포인트
나머지 R은 반드시 (R의 차수) < (B의 차수)이거나 상수여야 합니다. 이 조건을 안 지키면 등식이 틀립니다!
이차식으로 나눌 때 나머지를 상수로만 놓는 실수! 나머지는 ax+b 꼴(일차식 또는 상수)로 놓아야 합니다.
나눗셈을 마친 후 반드시 BQ+R을 전개하여 원래의 A와 같은지 확인하세요!
확인 문제
다항식 f(x)를 2x−3으로 나누었을 때의 몫이 x²+x−1이고 나머지가 3일 때, f(x)를 구하시오.
f(x) = (2x−3)(x²+x−1)+3
= 2x³+2x²−2x−3x²−3x+3+3
= 2x³−x²−5x+6