Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-1. 다항식의 연산답지나라개념사전
011
다항식 ÷ 다항식의 계산
내림차순 정리 → 자연수 나눗셈처럼 계산 · 계수만 쓰는 방법
1. (다항식)÷(다항식)의 계산 원리
(다항식)÷(다항식)은 먼저 주어진 다항식을 내림차순으로 정리한 후 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산합니다.
📝 예시 — (2x²+9x+7) ÷ (x+3)
자연수 나눗셈에서 자릿수를 맞춰서 계산하듯이, 다항식의 나눗셈에서는 다항식을 내림차순으로 정리한 후, 차수를 맞춰서 계산해야 합니다.
몫: 2x+3, 나머지: −2
💡 계수만 쓰는 방법
계수만 이용하여 나눗셈을 할 수도 있습니다. 위 예시에서 나누는 식 (x+3)의 계수 1, 3과 나뉘는 식 (2x²+9x+7)의 계수 2, 9, 7만 적어서 계산하면 같은 결과를 얻습니다.
2. 나눗셈의 핵심 규칙
(1) 자연수의 나눗셈에서 자릿수를 맞춰서 계산하듯이 다항식의 나눗셈에서는 차수를 맞춰서 계산해야 합니다.
(2) 이때 항이 없는 차수는 그 자리를 비워 두고 계산하고, 계수만 이용하여 나누는 경우에는 그 자리에 0을 적고 계산합니다.
(3) 자연수의 나눗셈에서 나머지가 나누는 수보다 작듯이, 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 상수이거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 합니다.
(4) 따라서 나머지가 상수가 되거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 나눕니다.
(2) 이때 항이 없는 차수는 그 자리를 비워 두고 계산하고, 계수만 이용하여 나누는 경우에는 그 자리에 0을 적고 계산합니다.
(3) 자연수의 나눗셈에서 나머지가 나누는 수보다 작듯이, 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 상수이거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 합니다.
(4) 따라서 나머지가 상수가 되거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 나눕니다.
💡 참고
다항식의 나눗셈은 자연수의 나눗셈과 다르게 나머지가 음의 상수인 경우도 있습니다.
3. 계산 예제
📝 예제 — 2x³−5x²−1을 2x−1로 나누기
주의: 나뉘는 식에 x항이 없으므로 2x³−5x²+0x−1로 놓고 계산합니다.
몫: x²−2x−1, 나머지: −2
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자주 틀리는 포인트
실수 ① 내림차순 정리 안 하기
나눗셈 전에 반드시 내림차순으로 정리해야 합니다. 정리 안 하면 차수 맞추기가 불가능합니다!
실수 ② 빈 차수 자리를 비워두기
2x³−5x²−1에서 x항이 없으면 반드시 0x를 써 넣어야 합니다. 빼먹으면 자릿수가 어긋납니다!
실수 ③ 나눗셈 종료 조건 무시
나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아질 때 나눗셈을 멈춥니다. 더 나누려고 하면 안 됩니다!
확인 문제
다항식 2x³−5x²−1을 2x−1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오.
2x³−5x²−1을 2x−1로 나누면
(빈 차수에 0x를 넣어 2x³−5x²+0x−1로 놓고 계산)
몫: x²−2x−1
나머지: −2
(빈 차수에 0x를 넣어 2x³−5x²+0x−1로 놓고 계산)
몫: x²−2x−1
나머지: −2
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