다항식 곱셈의 연산 법칙
교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙 — 곱셈에서도 세 가지 법칙 성립!
1. 다항식 곱셈의 세 가지 법칙
수에서와 마찬가지로 다항식 A, B, C에 대하여 다음 법칙이 성립합니다.
② 결합법칙: (AB)C = A(BC)
③ 분배법칙: A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC
다항식의 곱에 대한 결합법칙이 성립하므로 (AB)C, A(BC)는 괄호를 생략하여 ABC로 나타내기도 합니다.
2. 세 가지 법칙 확인 예제
세 다항식 A = x+1, B = 2x−1, C = x² 에 대하여
AB = (x+1)(2x−1) = 2x²+x−1
BA = (2x−1)(x+1) = 2x²+2x−x−1 = 2x²+x−1
→ AB = BA
(AB)C = (2x²+x−1)x² = 2x⁴+x³−x²
A(BC) = (x+1)(2x³−x²) = 2x⁴−x³+2x³−x² = 2x⁴+x³−x²
→ (AB)C = A(BC)
A(B+C) = (x+1)(2x−1+x²) = (x+1)(x²+2x−1)
= x³+2x²−x+x²+2x−1 = x³+3x²+x−1
AB+AC = (2x²+x−1)+(x³+x²) = x³+3x²+x−1
→ A(B+C) = AB+AC
마찬가지로 (A+B)C = AC+BC 도 확인할 수 있습니다.
자주 틀리는 포인트
교환·결합법칙은 곱셈(덧셈)에서만 성립합니다. 나눗셈(뺄셈)에는 적용되지 않습니다!
A(B+C)에서 A를 B에만 곱하고 C에는 안 곱하는 실수! 괄호 안 모든 항에 곱해야 합니다.
덧셈에는 교환·결합, 곱셈에는 교환·결합·분배법칙이 있습니다. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 연결하는 법칙입니다.
확인 문제
다음은 (x+a)(x+b)를 전개하는 과정이다. (ㄱ)~(ㅁ)에 알맞은 연산 법칙을 구하시오.
(x+a)(x+b)
= x(x+b)+a(x+b) … (ㄱ) 법칙
= (x²+xb)+(ax+ab) … (ㄴ) 법칙
= x²+(xb+ax)+ab … (ㄷ) 법칙
= x²+(ax+bx)+ab … (ㄹ) 법칙
= x²+(a+b)x+ab … (ㅁ) 법칙
(ㄴ) 분배법칙
(ㄷ) 결합법칙
(ㄹ) 교환법칙
(ㅁ) 분배법칙