다항식 나머지 정리 0193번 | (x-1)², (x-2) 조건으로 최종 나머지 구하기
📌 이 문제는 나머지 정리를 복합적으로 사용하는 대표 유형입니다.
- (x-1)²로 나눌 때 나머지가 1차식이라는 점이 핵심
- x=1 대입뿐 아니라 도함수 조건까지 생각해야 함
- 고1~고2 시험에서 3~4점으로 자주 출제
🔎 문제 접근 전략
P(x)를 (x-1)²(x-2)로 나누었을 때의 나머지를 ax²+bx+c라고 두면,
(x-1)²로 나눌 때의 나머지가 x+2라는 조건을 활용해야 합니다.
1️⃣ 나머지 설정
P(x) = (x-1)²(x-2)Q(x) + ax²+bx+c
2️⃣ (x-1)² 조건 활용
ax²+bx+c를 (x-1)²로 나눌 때 나머지가 x+2이므로
ax²+bx+c = a(x-1)² + x+2
3️⃣ (x-2) 조건 대입
나머지 정리에 의해 P(2)=3 이므로
a+4=3 → a=-1
📘 최종 나머지
-(x-1)² + x + 2 = -x² + 3x + 1
❌ 학생들이 가장 많이 틀리는 이유
- (x-1)² 조건을 x=1만 대입해서 해결하려고 함
- 나머지를 상수로 착각
- 전개 과정에서 부호 실수
📚 관련 개념 정리
- 나머지 정리: P(a)=나머지
- (x-a)²로 나눌 때는 도함수 조건까지 고려
- 고난도 문제는 조건을 동시에 활용