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합집합과 교집합의 원소 합이 주어졌을 때, 각 집합의 원소 합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합의 원소 합에 대한 중요한 공식 **S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B)** 를 이용합니다.
2. 문제에서 S(A∪B) = 32, S(A∩B) = 6 이라고 주어졌습니다.
3. 공식에 값을 대입하면 S(A) + S(B) = 32 + 6 = 38 이라는 관계식을 얻을 수 있습니다.
4. S(A)와 S(B)를 각각 구하는 것이 아니라, 두 값의 합을 묻고 있으므로 38이 답이 됩니다.
주의할 점:
원소의 개수에 대한 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 와 동일한 구조가 원소의 합에도 적용된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다.
”
합집합과 교집합 원소 합의 관계 이해하기
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대칭차집합(A△B)을 구하는 문제입니다. 대칭차집합은 합집합에서 교집합을 뺀 것과 같습니다.
접근법:
1. 두 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 12 이하의 3의 양의 배수
– B: 12 이하의 소수
2. 두 집합의 합집합(A∪B)과 교집합(A∩B)을 각각 구합니다.
3. 대칭차집합은 (A∪B) – (A∩B) 입니다. 합집합에서 교집합의 원소를 제외한 나머지 원소들을 모두 나열합니다.
4. 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
대칭차집합은 (A-B)∪(B-A)로도 계산할 수 있습니다. 두 가지 정의를 모두 알아두면 편리합니다.
”
대칭차집합의 모든 원소의 합 구하기
“
차집합(A-B)의 원소가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-B = {3} 이라는 것은, 원소 3이 **A에는 속하지만 B에는 속하지 않음**을 의미합니다.
2. A={1, 3, a²} 이므로, 나머지 원소 1과 a²은 A-B에 속하지 않습니다. 이는 1과 a²이 **반드시 교집합(A∩B)**에 속해야 함을 의미합니다.
3. 따라서, B는 원소 1과 a²을 반드시 포함해야 합니다.
4. 집합 B={a, b, 4}와 비교하여, {1, a²} = {a, b} 또는 {a, 4} 또는 {b, 4} 등의 경우를 따져 a, b값을 결정합니다.
주의할 점:
차집합의 정의를 정확히 이해하는 것이 핵심입니다. A-B에 속하지 않는 A의 원소들은 모두 교집합에 속하게 됩니다.
”
차집합의 원소로 교집합의 원소 추론하기
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두 집합의 합집합과 교집합의 정보가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 정보 A∪B = {1,2,3,4,5,7} 와 A∩B = {2,5}를 벤 다이어그램으로 나타내면 각 영역의 원소를 파악하기 쉽습니다.
2. 교집합 {2,5}는 A와 B 모두에 포함됩니다.
3. A={2, a, 5} 이므로, 벤 다이어그램의 A-B 영역에는 원소 a가, B-A 영역에는 나머지 원소들이 들어가야 합니다.
4. 합집합의 원소 중 A와 B에 공통으로 있는 2, 5를 제외한 {1,3,4,7}은 A-B 또는 B-A에 속해야 합니다.
5. B={2, b-1, 5, c+2}와 A-B, B-A 영역의 원소를 비교하여 a, b, c 값을 추론합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 활용하여 각 영역에 어떤 원소가 들어가야 하는지 시각적으로 정리하면 논리적인 실수를 줄일 수 있습니다.
”
합집합과 교집합 정보로 원래 집합 추론하기
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조건제시법으로 주어진 두 집합의 교집합과 합집합의 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 16의 양의 약수
– B: 24의 양의 약수
2. (A∩B): 두 집합에 공통으로 들어있는 원소, 즉 16과 24의 공약수를 찾습니다.
3. (A∪B): 두 집합에 들어있는 모든 원소를 중복 없이 나열합니다.
4. 각 보기의 원소가 A∩B 또는 A∪B에 속하는지 판별합니다.
주의할 점:
두 약수 집합의 교집합은 두 수의 ‘최대공약수의 약수’ 집합과 같다는 성질을 이용하면 더 빠르게 교집합을 구할 수 있습니다.
”
두 약수 집합의 교집합과 합집합 원소 찾기
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783번 문제와 동일하게, 벤 다이어그램을 보고 집합의 기본 연산 결과가 옳은지 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 전체집합 U와 두 부분집합 A, B의 원소를 각각 나열합니다.
2. (여집합 Aᶜ): 전체집합 U의 원소 중 집합 A에 속하지 않는 모든 원소를 의미합니다.
3. 각 보기에서 요구하는 집합 연산(차집합, 교집합, 여집합, 합집합)을 수행합니다.
4. 계산된 결과와 보기의 집합이 일치하는지 확인하여 옳지 않은 것을 고릅니다.
주의할 점:
여집합을 구할 때는 항상 전체집합 U를 기준으로 생각해야 합니다. 특정 집합에 속하지 않는다고 해서 모두 여집합의 원소가 되는 것은 아닙니다.
”
벤 다이어그램과 여집합, 차집합의 이해
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벤 다이어그램을 보고 각 영역에 해당하는 원소를 파악하여 교집합, 합집합, 차집합을 구하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램에서 각 집합 A, B, C의 원소를 원소나열법으로 모두 적습니다.
2. (교집합 ∩): 두 집합에 공통으로 속하는 원소를 찾습니다.
3. (합집합 ∪): 두 집합에 속하는 모든 원소를 중복 없이 나열합니다.
4. (차집합 -): A-B는 A에만 속하고 B에는 속하지 않는 원소를 의미합니다.
5. 각 보기의 연산 결과를 1단계에서 파악한 원소들과 비교하여 옳지 않은 것을 찾습니다.
주의할 점:
교집합, 합집합, 차집합의 기호와 정의를 명확히 구분하는 것이 중요합니다. 특히 A-B와 B-A는 전혀 다른 집합임을 유의해야 합니다.
”
벤 다이어그램과 집합의 기본 연산 이해하기
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독특한 규칙으로 정의된 함수 m(A)에 대해, 모든 부분집합의 함숫값의 총합을 구하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 규칙을 분석하면, m(A)는 A의 원소를 큰 수부터 +와 -를 번갈아 계산합니다.
2. (규칙성 찾기) 집합 A와, A에 가장 큰 원소(5)를 추가한 집합 B=A∪{5}의 함숫값 관계를 봅니다. m(B) = 5 – m(A) 입니다. 즉, m(A) + m(B) = 5.
3. {1,2,3,4,5}의 모든 부분집합(32개)은, 5를 포함하지 않는 부분집합(16개)과 5를 포함하는 부분집합(16개)으로 나눌 수 있습니다.
4. 이 둘은 1:1로 짝지을 수 있으며, 각 쌍의 함숫값의 합은 항상 5가 됩니다.
5. 따라서 공집합을 제외한 31개 부분집합의 함숫값 총합은 (16쌍 × 5) – m(∅) 입니다. 문제의 정의상 공집합은 없으므로 총 15쌍과 {5}가 남습니다. 총합은 15*5 + m({5}) 입니다.
주의할 점:
함숫값의 규칙성을 파악하여 모든 값을 직접 계산하지 않고 총합을 구하는 아이디어를 떠올리는 것이 핵심입니다.
”
규칙적으로 정의된 함수의 총합 구하기
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집합의 원소 중 소수의 개수로 새로운 함수 N(S)를 정의하고, 그 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={1,…,10}에서 소수는 {2,3,5,7} (4개), 비소수는 {1,4,6,8,9,10} (6개)입니다.
2. (ㄱ) S={2,3,4}에서 소수는 2,3이므로 N(S)=2 입니다.
3. (ㄴ) N(S)의 최댓값은 U에 포함된 모든 소수를 가질 때이므로 4입니다.
4. (ㄷ) N(S)=1인 집합 S는, **4개의 소수 중 하나를 선택**하고(₄C₁), **6개의 비소수들로 만들 수 있는 모든 부분집합**과 조합하여 만듭니다. 따라서 개수는 ₄C₁ × 2⁶ 입니다.
주의할 점:
N(S)=1 이라는 것은, 소수를 정확히 1개만 포함하고 비소수는 포함해도 되고 안해도 된다는 의미로 해석해야 합니다.
”
원소 중 소수의 개수로 정의된 함수 이해하기
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A ⊂ X ⊂ B 와 n(B)=3 이라는 두 조건을 동시에 만족하는 순서쌍 (A,X)의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 B를 임의의 원소 3개를 갖는 {a,b,c}로 고정하고 생각합니다.
2. 집합 X는 B의 부분집합이므로, X가 될 수 있는 경우를 **X의 원소 개수**에 따라 나눕니다.
3. (n(X)=3) X=B인 경우 1가지. 이때 A는 X의 부분집합이므로 2³가지.
4. (n(X)=2) X가 될 수 있는 경우는 ₃C₂=3가지. 각각의 X에 대해 A는 X의 부분집합이므로 2²가지.
5. (n(X)=1), (n(X)=0) 도 같은 방식으로 계산합니다.
6. 모든 경우의 순서쌍 개수를 더합니다.
주의할 점:
이 문제는 B가 정해져 있지 않지만, n(B)=3이라는 조건만으로 B를 대표적인 집합으로 가정하고 풀 수 있습니다. X를 기준으로 경우를 나누는 것이 체계적입니다.
”
A⊂X⊂B와 n(B)가 주어질 때 순서쌍 개수
