“
세 집합의 교집합과 관련된 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경만 착용한 학생’은 n(A – (B∪C))를 의미합니다. 이 값을 최대로 만들어야 합니다.
2. **n(A – (B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]**
3. 이 값이 최대가 되려면, 빼주는 값 [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]가 **최소**가 되어야 합니다.
4. 주어진 조건들을 이용해 이 식의 최솟값을 찾습니다. 일반적으로 A와 B, A와 C가 최대한 겹치지 않도록, 즉 B∪C가 A와 최소한으로 겹치도록 설정하면 됩니다.
주의할 점:
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제는 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 인원이 0 이상이라는 부등식을 세워 연립하여 푸는 것이 정석적인 방법입니다.
”
여러 조건을 만족하는 부분집합 개수 찾기
“
862번 문제와 동일한 유형입니다. 배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구합니다.
접근법:
1. 구하려는 것은 n(A₅-A₃), 즉 ‘5의 배수이지만 3의 배수는 아닌’ 수의 개수입니다.
2. **n(A₅-A₃) = n(A₅) – n(A₅∩A₃)** 공식을 이용합니다.
3. A₅∩A₃ = A₁₅ (5와 3의 최소공배수는 15) 입니다.
4. 100 이하의 5의 배수 개수와 15의 배수 개수를 각각 세어 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수를 구할 때는, 두 집합의 교집합의 원소 개수를 빼주어야 합니다.
”
세 집합의 포함-배제 원리 (교집합 원소 개수)
“
세 집합의 합집합 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **n(A∪B∪C)**는 세 집합이 **최대한 많이 겹칠 때** 최소가 됩니다.
2. 세 집합의 원소 개수 중 가장 큰 것은 n(C)=25 입니다.
3. n(A)=20, n(B)=17 이므로, A와 B가 모두 C에 포함되는 극단적인 경우를 상상할 수 있습니다.
4. 따라서, n(A∪B∪C)의 최솟값은 세 집합의 원소 개수 중 **가장 큰 값**인 25가 됩니다.
주의할 점:
세 집합 합집합의 최솟값은 n(A), n(B), n(C) 중 최댓값(max)입니다.
”
배수 집합의 복합적인 포함 관계 이해하기
“
배수 집합의 합집합과 교집합의 원소 개수를 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A₄∪A₆가 A₂의 부분집합인지 확인합니다. 4의 배수와 6의 배수는 모두 2의 배수이므로, 합집합 역시 2의 배수에 포함됩니다.
2. (ㄴ) n(A₂-A₃) = n(A₂) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
3. (ㄷ) n(A₂∪A₃) = n(A₂) + n(A₃) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
4. (ㄹ) n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃) 를 계산하여 확인합니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ ⊂ Aₙ)와 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
“
교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값) n(A∩B)의 최댓값은 두 집합의 원소 개수 중 **작은 값**과 같습니다. 즉, **min(n(A), n(B))** 입니다. 한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 때 발생합니다.
2. (최솟값) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 이 값이 0보다 작으면 최솟값은 0) 이는 합집합의 원소 개수가 전체집합의 원소 개수를 넘어설 수 없을 때 발생합니다.
3. 두 공식을 이용해 최댓값(M)과 최솟값(m)을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
교집합의 최대/최소 공식은 반드시 암기해야 합니다. 최솟값 공식의 결과가 음수이면, 실제 최솟값은 0이 됩니다.
”
적어도 두 종류’에 해당하는 원소 개수 구하기
“
866번 문제와 동일하게, 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값 M) n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. (최솟값 m) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
3. 주어진 n(A), n(B), n(U) 값을 공식에 대입하여 M과 m을 구하고, M-m을 계산합니다.
주의할 점:
전체집합의 크기가 주어졌을 때, 교집합의 최솟값을 구하는 공식(n(A)+n(B)-n(U))을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 원소 개수 계산하기 (차집합 활용)
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실생활 문제에서 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A를 선택한 학생’의 집합을 A, ‘B를 선택한 학생’의 집합을 B로 둡니다.
2. n(U)=32, n(A)=23, n(B)=15 입니다.
3. 문제에서 묻는 것은 ‘A와 B를 모두 선택한 학생 수’, 즉 **n(A∩B)** 의 최댓값과 최솟값입니다.
4. 866, 867번과 동일한 공식을 적용하여 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 집합의 원소 개수 문제로 변환하여 해석하는 능력이 필요합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
“
868번 문제와 동일한 유형으로, 실생활 문제에서 교집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경을 쓴 학생’의 집합을 A, ‘목도리를 한 학생’의 집합을 B로 둡니다.
2. n(U)=30, n(A)=18, n(B)=11 입니다.
3. 문제에서 묻는 것은 ‘안경과 목도리를 모두 착용한 학생 수’, 즉 **n(A∩B)** 의 최댓값입니다.
4. n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 이므로, 18과 11 중 작은 값인 11이 됩니다.
주의할 점:
최댓값은 두 집합 중 원소 개수가 더 적은 집합이 다른 집합에 완전히 포함되는 경우에 발생합니다.
”
세 집합에서 특정 영역의 최댓값 구하기
“
합집합의 여집합, 즉 ‘어느 것도 선택하지 않은’ 학생 수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
2. 이 값이 최대가 되려면 **n(A∪B)가 최소**여야 하고, 최소가 되려면 **n(A∪B)가 최대**여야 합니다.
3. (n(A∪B)의 최대) A와 B가 서로소일 때 최대이며, n(A)+n(B) 입니다. (단, n(U)를 넘을 수 없음)
4. (n(A∪B)의 최소) 한 집합이 다른 집합에 포함될 때 최소이며, 두 집합의 원소 개수 중 큰 값과 같습니다. 즉, max(n(A), n(B)) 입니다.
5. n(A∪B)의 최대, 최소를 구해 n((A∪B)ᶜ)의 최대, 최소를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
합집합의 여집합의 최대/최소를 묻는 것은, 결국 합집합의 최소/최대를 묻는 것과 같습니다.
”
세 집합 합집합의 원소 개수 최솟값 구하기
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차집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 입니다.
2. n(A)는 18로 고정되어 있으므로, n(A-B)가 최대가 되려면 **n(A∩B)가 최소**가 되어야 합니다.
3. n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
4. 이 최솟값을 구해 공식에 대입하여 n(A-B)의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
차집합의 최대/최소는 교집합의 최소/최대와 반대로 움직인다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
”
세 집합 교집합의 원소 개수 최솟값 구하기
