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868번 문제와 동일한 유형으로, 실생활 문제에서 교집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경을 쓴 학생’의 집합을 A, ‘목도리를 한 학생’의 집합을 B로 둡니다.
2. n(U)=30, n(A)=18, n(B)=11 입니다.
3. 문제에서 묻는 것은 ‘안경과 목도리를 모두 착용한 학생 수’, 즉 **n(A∩B)** 의 최댓값입니다.
4. n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 이므로, 18과 11 중 작은 값인 11이 됩니다.
주의할 점:
최댓값은 두 집합 중 원소 개수가 더 적은 집합이 다른 집합에 완전히 포함되는 경우에 발생합니다.
”
세 집합에서 특정 영역의 최댓값 구하기
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실생활 문제에서 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A를 선택한 학생’의 집합을 A, ‘B를 선택한 학생’의 집합을 B로 둡니다.
2. n(U)=32, n(A)=23, n(B)=15 입니다.
3. 문제에서 묻는 것은 ‘A와 B를 모두 선택한 학생 수’, 즉 **n(A∩B)** 의 최댓값과 최솟값입니다.
4. 866, 867번과 동일한 공식을 적용하여 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 집합의 원소 개수 문제로 변환하여 해석하는 능력이 필요합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
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866번 문제와 동일하게, 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값 M) n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. (최솟값 m) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
3. 주어진 n(A), n(B), n(U) 값을 공식에 대입하여 M과 m을 구하고, M-m을 계산합니다.
주의할 점:
전체집합의 크기가 주어졌을 때, 교집합의 최솟값을 구하는 공식(n(A)+n(B)-n(U))을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 원소 개수 계산하기 (차집합 활용)
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교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값) n(A∩B)의 최댓값은 두 집합의 원소 개수 중 **작은 값**과 같습니다. 즉, **min(n(A), n(B))** 입니다. 한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 때 발생합니다.
2. (최솟값) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 이 값이 0보다 작으면 최솟값은 0) 이는 합집합의 원소 개수가 전체집합의 원소 개수를 넘어설 수 없을 때 발생합니다.
3. 두 공식을 이용해 최댓값(M)과 최솟값(m)을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
교집합의 최대/최소 공식은 반드시 암기해야 합니다. 최솟값 공식의 결과가 음수이면, 실제 최솟값은 0이 됩니다.
”
적어도 두 종류’에 해당하는 원소 개수 구하기
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배수 집합의 합집합과 교집합의 원소 개수를 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A₄∪A₆가 A₂의 부분집합인지 확인합니다. 4의 배수와 6의 배수는 모두 2의 배수이므로, 합집합 역시 2의 배수에 포함됩니다.
2. (ㄴ) n(A₂-A₃) = n(A₂) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
3. (ㄷ) n(A₂∪A₃) = n(A₂) + n(A₃) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
4. (ㄹ) n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃) 를 계산하여 확인합니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ ⊂ Aₙ)와 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
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862번 문제와 동일한 유형입니다. 배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구합니다.
접근법:
1. 구하려는 것은 n(A₅-A₃), 즉 ‘5의 배수이지만 3의 배수는 아닌’ 수의 개수입니다.
2. **n(A₅-A₃) = n(A₅) – n(A₅∩A₃)** 공식을 이용합니다.
3. A₅∩A₃ = A₁₅ (5와 3의 최소공배수는 15) 입니다.
4. 100 이하의 5의 배수 개수와 15의 배수 개수를 각각 세어 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수를 구할 때는, 두 집합의 교집합의 원소 개수를 빼주어야 합니다.
”
세 집합의 포함-배제 원리 (교집합 원소 개수)
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배수 집합의 여집합과 교집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ 입니다.
2. 드모르간의 법칙에 의해, **A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ = (A₂∪A₃)ᶜ** 입니다.
3. 따라서, **n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃)** 를 계산하면 됩니다.
4. n(A₂∪A₃)는 포함-배제 원리(n(A₂)+n(A₃)-n(A₆))를 이용해 구합니다.
5. 모든 값을 계산하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수’의 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 이용해 합집합의 여집합으로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
세 집합의 포함-배제 원리 (합집합 원소 개수)
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배수 집합의 원소 개수를 이용하여 차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A₃-A₂) 입니다.
2. n(A₃-A₂) = n(A₃) – n(A₃∩A₂) 공식을 이용합니다.
3. n(A₃): 100 이하의 3의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 3)
4. n(A₃∩A₂): A₃∩A₂ = A₆ 이므로, 100 이하의 6의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 6)
5. 두 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
A₃-A₂는 ‘3의 배수이면서 2의 배수는 아닌 수’의 집합을 의미합니다. 차집합의 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
세 집합 교집합의 최대/최소 참/거짓 판별
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유한집합의 원소 개수와 관련된 여러 공식들의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 공식이 집합의 연산 법칙과 포함-배제 원리에 따라 올바른지 확인합니다.
– (ㄱ) n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 이므로 참입니다.
– (ㄴ) n(Aᶜ) = n(U) – n(A) 이므로 거짓입니다.
– (ㄷ) n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 이므로, n(A)+n(B) = n(A∪B)+n(A∩B) 입니다.
– (ㄹ) n(A△B) = n(A-B)+n(B-A) = n(A)+n(B)-2n(A∩B) 이므로 거짓입니다.
주의할 점:
유한집합의 원소 개수를 다루는 기본적인 공식들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
차집합 원소 개수의 최댓값 구하기 (교집합 최소 활용)
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두 집합이 서로소(A∩B=∅)일 때, 원소 개수에 대한 설명의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B=∅를 만족하는 벤 다이어그램(두 원이 겹치지 않음)을 그립니다.
2. 이 벤 다이어그램을 보면서 각 보기의 식이 항상 성립하는지 확인합니다.
– ① n(A-B) = n(A) – n(A∩B) = n(A) – 0 = n(A)
– ② n(B-A) = n(B)
– ③ n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) = n(A)+n(B)
– ④ n(A) ≤ n(Bᶜ) : A는 B의 여집합에 포함되므로(A⊂Bᶜ), n(A)≤n(Bᶜ) 입니다.
– ⑤ n(A)+n(B)=n(U)는 A∪B=U일 때만 성립하므로 항상 옳지는 않습니다.
주의할 점:
서로소 관계일 때 성립하는 원소 개수 관계식(n(A∩B)=0, n(A∪B)=n(A)+n(B), n(A-B)=n(A))을 명확히 이해해야 합니다.
”
합집합 여집합의 최대/최소 (어느 것도 아닌 경우)
