“
두 집합의 포함 관계(A⊂B)가 주어졌을 때, 원소 개수에 대한 설명의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B를 만족하는 벤 다이어그램(A가 B 안에 포함됨)을 그립니다.
2. 벤 다이어그램을 보면서 각 보기의 식이 항상 성립하는지 확인합니다.
– ① n(A) ≤ n(B) : 항상 참입니다.
– ② n(A∩B) = n(A) : A와 B의 교집합은 A 자신입니다.
– ③ n(A-B) = 0 : A에만 속하는 원소는 없습니다.
– ④ n(A∪B) = n(B) : A와 B의 합집합은 B 자신입니다.
– ⑤ n(A)+n(B-A) = n(A) + (n(B)-n(A)) = n(B) 입니다.
주의할 점:
A⊂B와 동치인 여러 원소 개수 관계식(n(A∩B)=n(A), n(A∪B)=n(B), n(A-B)=0)을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
교집합 원소 개수의 최댓값 구하기 (min(A,B))
“
857번 문제와 동일한 원리를 적용하여, 교집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A∪B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. 문제에서 n(A∪B), n(A-B), n(B-A) 값이 주어졌습니다.
3. 공식에 값들을 대입하여 n(A∩B)에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
각 집합 연산이 벤 다이어그램의 어떤 영역을 의미하는지 정확히 알고 있어야 공식을 올바르게 적용할 수 있습니다.
”
실생활 문제와 교집합의 최대/최소 구하기
“
차집합의 원소 개수를 이용하여 합집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A∪B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) 라는 공식을 이용하는 것이 가장 효율적입니다.
2. 문제에 n(A-B), n(B-A), n(A∩B) 값이 모두 주어졌습니다.
3. 세 값을 그대로 더하기만 하면 n(A∪B)를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 상상하면 합집합이 세 개의 서로소인 영역(A-B, B-A, A∩B)으로 구성됨을 쉽게 알 수 있습니다. 이 관계를 이용한 공식은 매우 유용합니다.
”
교집합 원소 개수의 최대/최소 공식 적용하기
“
855번 문제와 동일하게 드모르간의 법칙을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A∩B) 입니다.
2. 포함-배제 원리 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)를 이용하려면 n(A∪B)를 알아야 합니다.
3. 주어진 조건 n(Aᶜ∩Bᶜ) = 6 을 이용합니다. n(Aᶜ∩Bᶜ) = n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
4. 40 – n(A∪B) = 6 이므로, n(A∪B) = 34 입니다.
5. 이제 포함-배제 원리 공식에 모든 값을 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건들을 어떻게 조합해야 구하려는 값을 찾을 수 있는지, 공식들 사이의 관계를 파악하는 것이 중요합니다.
”
교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값 구하기
“
드모르간의 법칙과 여집합의 원소 개수를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. n(Aᶜ∩Bᶜ)는 드모르간의 법칙에 의해 **n((A∪B)ᶜ)** 와 같습니다.
2. n((A∪B)ᶜ) = **n(U) – n(A∪B)** 입니다.
3. 따라서, n(A∪B) = n(U) – n(Aᶜ∩Bᶜ) 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
4. n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 공식에 알고 있는 값들을 모두 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
Aᶜ∩Bᶜ (A도 아니고 B도 아닌 것)은 A∪B (A 또는 B)의 여집합이라는 드모르간의 법칙을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
배수 집합의 성질 종합 참/거짓 판별하기
“
차집합과 여집합의 원소 개수를 이용하여 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 공식을 이용합니다. 문제에 n(A-B)와 n(A)가 주어졌으므로, n(A∩B)를 구할 수 있습니다.
2. **n(Aᶜ) = n(U) – n(A)** 공식을 이용합니다. 문제에 n(U)와 n(A)가 주어졌으므로, n(Aᶜ)를 구할 수 있습니다.
3. n(Bᶜ) = n(U) – n(B) 공식을 이용합니다. n(B)를 구해야 합니다.
4. n(A∪B) = n(A-B) + n(B) 라는 관계식을 이용해 n(B)를 구하거나, n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)를 이용합니다. (n(A∪B) 정보가 필요함 – 문제에서 주어지지 않았다면 풀 수 없음)
주의할 점:
이 문제를 풀기 위해서는 n(A∪B) 또는 n(B)에 대한 추가 정보가 필요합니다. 주어진 조건만으로는 n(Bᶜ)를 확정할 수 없습니다. (해설에서는 n(A∪B)=25를 가정하고 풀이)
”
배수 집합의 차집합 원소 개수 구하기
“
대칭차집합(A△B)의 원소 개수를 구하는 문제입니다. 포함-배제 원리를 활용합니다.
접근법:
1. n(A△B) = n(A∪B) – n(A∩B) 또는 n(A△B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. (A∩Bᶜ)∪(B∩Aᶜ)는 (A-B)∪(B-A) 이므로 대칭차집합을 의미합니다.
3. 문제에 n(A), n(B), n(A∪B)가 주어졌습니다.
4. 먼저 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 공식을 이용해 n(A∩B) 값을 구합니다.
5. 구한 n(A∩B) 값을 대칭차집합 개수 공식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
대칭차집합의 원소 개수를 구하는 두 가지 공식 모두 암기하고, 문제에 주어진 조건에 따라 더 편리한 공식을 선택하여 사용해야 합니다.
”
배수 집합의 여집합과 교집합 원소 개수 (드모르간 법칙)
“
주어진 연산 관계식 (A∪B) ∩ A = A 를 통해 두 집합의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B) ∩ A = A 라는 식은 흡수법칙의 한 형태입니다.
2. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 합집합)과 (A)의 공통 부분은 항상 A가 됩니다.
3. 즉, 이 식은 A와 B의 관계와 상관없이 항상 성립하는 항등식입니다.
4. 따라서 이 조건만으로는 A와 B 사이에 특별한 관계(포함, 서로소 등)를 단정할 수 없습니다. 문제에서 항상 옳은 것을 찾아야 합니다. (이 문제의 경우, 보기 중 항등식을 찾는 것이 답이 될 수 있습니다)
주의할 점:
흡수법칙 (A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A)은 항상 성립하는 법칙이므로, 이 식이 조건으로 주어졌을 때는 다른 추가 정보가 없는지 확인해야 합니다.
”
배수 집합의 차집합 원소 개수 구하기
“
차집합과 드모르간의 법칙을 이용하여 주어진 집합 연산을 간단히 하는 문제입니다.
접근법:
1. (A-B)ᶜ ∩ Bᶜ 을 먼저 간단히 합니다.
2. 드모르간의 법칙에 의해, (A-B)ᶜ ∩ Bᶜ = ( (A-B) ∪ B )ᶜ 입니다.
3. 괄호 안의 (A-B)∪B는 (A∩Bᶜ)∪B = (A∪B)∩(Bᶜ∪B) = (A∪B)∩U = A∪B 입니다.
4. 따라서 주어진 식은 (A∪B)ᶜ 과 같습니다.
5. (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ 이므로, 이와 동치인 보기를 찾습니다.
주의할 점:
복잡한 연산은 벤 다이어그램을 그리거나, 연산 법칙을 차근차근 적용하여 간단한 형태로 만드는 것이 중요합니다. 드모르간의 법칙은 괄호 안의 합집합/교집합과 여집합 기호를 각각 반대로 바꾸는 규칙입니다.
”
배수 집합의 성질을 종합적으로 판별하기
“
배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (A₂∪A₃) – A₆ = (A₂∪A₃) ∩ A₆ᶜ 입니다. 이는 복잡합니다.
2. n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 공식을 활용합니다.
– n( (A₂∪A₃) – A₆ ) = n(A₂∪A₃) – n( (A₂∪A₃)∩A₆ )
3. (A₂∪A₃)∩A₆ = (A₂∩A₆) ∪ (A₃∩A₆) = A₆ ∪ A₆ = A₆ 입니다.
4. 따라서 구하는 개수는 **n(A₂∪A₃) – n(A₆)** 입니다.
5. 848번, 849번과 같이 포함-배제 원리를 이용해 n(A₂∪A₃)를 구하고, n(A₆)를 빼줍니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수 공식을 정확히 적용하고, 괄호 안의 복잡한 교집합 연산을 분배법칙을 이용해 간단히 만드는 과정이 필요합니다.
”
배수 집합의 차집합 원소 개수 계산하기 (A-B = A – A∩B)
