✨ 핵심만정리

• 이항분포란?: 1회 성공 확률이 p인 **독립시행**을 n번 반복할 때, ‘성공 횟수’를 확률변수 X라고 할 때의 확률분포를 말해요.
• 기호: B(n, p) 라고 씁니다.
  • n: 전체 독립시행의 횟수
  • p: 1회 시행에서의 성공 확률
• 확률질량함수: X가 정확히 x번 성공할 확률은 독립시행의 확률 공식과 같아요.

  P(X=x) = nCx × pˣ × (1-p)ⁿ⁻ˣ

🎨 개념정리: 독립시행, 통계와 만나다

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 바로 직전에 배운 ‘독립시행의 확률’, 기억나죠? ‘n번 중 r번 성공할 확률’을 구하는 거였어요. **이항분포**는 바로 그 독립시행을 통계의 관점에서 바라보는 거예요. ‘성공 횟수’ 자체를 하나의 확률변수 X로 두고, 그 확률분포를 통째로 부르는 이름이랍니다!

독립시행 → 이항분포

동전 던지기, 주사위 던지기, 자유투 성공 등… 이런 독립시행에서 ‘성공 횟수’를 확률변수 X로 놓으면, 그 X가 따르는 확률분포가 바로 이항분포입니다. 이항분포의 정보는 B(n, p)라는 기호 하나로 간단하게 표현할 수 있어요.

예시: 주사위 던지기

주사위를 3번 던질 때, 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 해봅시다.

1. 독립시행인지 확인: 주사위를 던지는 것은 매번 서로 영향을 주지 않으므로 독립시행이 맞아요.
2. n과 p 찾기:
   • 전체 시행 횟수 n = 3
   • 1회 성공 (1의 눈) 확률 p = 1/6
3. 이항분포로 표현하기: 따라서 확률변수 X는 이항분포 **B(3, 1/6)**을 따른다고 말할 수 있어요. 이 기호 하나에 ‘주사위를 3번 던졌고, 1의 눈이 나올 확률은 1/6이다’라는 모든 정보가 담겨있는 거죠.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 서브 성공률이 70%인 배드민턴 선수가 5번 서브를 하여 성공하는 횟수를 확률변수 X라 할 때, 다음에 답하시오.

(1) X의 확률분포를 B(n,p) 꼴로 나타내시오.

풀이:
전체 시행 횟수 n=5, 1회 성공 확률 p=0.7 이므로, 정답은 **B(5, 0.7)** 입니다.

(2) P(X=x)를 x에 대한 식으로 나타내시오.

풀이:
독립시행의 확률 공식을 그대로 쓰면 됩니다. 실패 확률은 1-0.7=0.3 이므로,
P(X=x) = 5Cx × (0.7)ˣ × (0.3)⁵⁻ˣ (단, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5) 입니다.

💡 참고: 왜 이름이 ‘이항’분포일까?

이항분포의 확률질량함수 `nCx pˣ (1-p)ⁿ⁻ˣ`는 이항정리 `(a+b)ⁿ`의 일반항 `nCr aʳ bⁿ⁻ʳ`과 형태가 아주 비슷하죠? ‘성공(p) 또는 실패(1-p)’라는 **두 가지(이항, 二項)** 결과 중 하나를 선택하는 시행을 반복하기 때문에 이런 이름이 붙었답니다. 수학의 개념들은 이렇게 서로 깊은 관련이 있어요!