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[수학포스팅] 426 기댓값 (평균) 💰 복권 1장을 사면 얼마를 기대할 수 있을까?
✨ 핵심만정리
기댓값(E(X)) 또는 **평균(m)**은 어떤 시행을 무수히 많이 반복했을 때, 확률변수 X의 값이 평균적으로 얼마일지를 예측한 값이에요.
계산은 아주 간단해요. **(변수 × 확률)을 모두 더하면 끝!**
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
🎨 개념정리: 확률을 고려한 가중평균
안녕하세요, 수학포스팅입니다! 만약 당첨 확률과 상금이 정해진 복권이 있다면, 이 복권 한 장의 ‘가치’는 얼마라고 할 수 있을까요? 이처럼 확률을 고려한 평균값을 **기댓값**이라고 해요. 통계에서 가장 중요한 개념 중 하나인 평균(기댓값)을 구하는 법을 배워봅시다.
핵심 아이디어: 확률이라는 ‘가중치’
단순히 변수들을 더해서 개수로 나누는 산술평균과 달리, 기댓값은 ‘확률’이라는 **가중치**를 곱해서 더한 **가중평균**이에요. 더 일어나기 쉬운 값에 더 높은 중요도를 부여하는 거죠.
예시: 제비뽑기의 기댓값
총 10장의 제비가 있는 상자가 있습니다.
- 1등 (5,000원) – 1장
- 2등 (1,000원) – 3장
- 꽝 (0원) – 6장
이 제비뽑기 한 번에 기대할 수 있는 상금은 얼마일까요?
- 확률분포표 만들기:
확률변수 X를 ‘상금’이라고 하면 X는 0, 1000, 5000의 값을 가질 수 있어요.X (상금) 0원 1,000원 5,000원 합계 P(X=x) (확률) 6/10 3/10 1/10 1 - 기댓값 계산하기:
각각의 상금(변수)에 그 상금을 받을 확률을 곱해서 모두 더해주면 끝!E(X) = (0 × 6/10) + (1000 × 3/10) + (5000 × 1/10)따라서 이 제비뽑기 한 번에 평균적으로 800원의 상금을 기대할 수 있다고 말할 수 있어요.
= 0 + 300 + 500 = 800(원)
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 확률변수 X의 확률분포가 아래 표와 같을 때, X의 평균(기댓값)을 구하시오.
| X | 2 | 4 | 8 | 합계 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 1/8 | 1/2 | 3/8 | 1 |
풀이:
(변수 × 확률)을 모두 더해주면 됩니다.
E(X) = (2 × 1/8) + (4 × 1/2) + (8 × 3/8)
= 2/8 + 4/2 + 24/8
= 1/4 + 2 + 3 = 5 + 1/4 = 21/4
💡 참고: 중학교 때 배운 평균과의 관계
사실 기댓값은 중학교 때 배운 ‘도수분포표에서의 평균’과 똑같은 개념이에요. `(계급값×도수)의 총합 / (도수의 총합)` 기억나나요? 여기서 `도수/도수의총합` 부분이 바로 ‘상대도수’, 즉 통계적 ‘확률’이랍니다. 결국 이름만 바뀌었을 뿐, ‘자료의 값을 대표하는 평균’이라는 핵심 아이디어는 그대로 이어지는 거죠!