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[수학포스팅] 425 연속확률변수 💧 확률이 넓이가 된다고?
✨ 핵심만정리
- 연속확률변수: 키, 몸무게, 시간처럼 특정 범위 안의 **모든 실수 값**을 가질 수 있는 확률변수. (셀 수 없어요!)
- 확률밀도함수(f(x)): 연속확률변수의 분포를 나타내는 **그래프(함수)**.
이 함수가 진짜 ‘확률밀도함수’가 되려면 아래 3가지 성질을 만족해야 해요.
1. 함숫값은 항상 0 이상이다. (f(x) ≥ 0)
2. 그래프와 x축 사이의 **전체 넓이는 반드시 1**이다.
3. 특정 구간의 확률은 그 구간의 **그래프 아래 넓이**와 같다.
🎨 개념정리: 셀 수 없다면 넓이를 구하라!
안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간까지 배운 이산확률변수는 값이 1, 2, 3처럼 뚝뚝 떨어져 있었죠? 하지만 우리의 키나 몸무게는 어떤가요? 170cm와 171cm 사이에도 170.1, 170.11 등 무수히 많은 값이 존재하죠. 이렇게 연속적인 값을 갖는 변수가 바로 **연속확률변수**입니다.
‘질량’에서 ‘밀도’로, ‘점’에서 ‘구간’으로
이산확률변수에서는 특정 값에서의 확률, 즉 ‘질량’이 중요했어요. 하지만 연속확률변수에서는 특정 한 지점(예: 키가 정확히 170.123456…cm일 확률)의 확률은 0이에요. (넓이가 없는 선이니까요!) 그래서 우리는 특정 ‘점’이 아닌 특정 **’구간’**의 확률에 관심을 가져요. 이때 확률은 그래프 아래의 **넓이**로 정의된답니다. 이 그래프를 나타내는 함수가 바로 **확률밀도함수**예요.
예시: 버스 기다리기
0분에서 10분 사이에 버스가 도착하는 상황을 생각해봅시다. 확률변수 X는 ‘기다리는 시간’이에요. 만약 버스가 모든 시간대에 도착할 확률 밀도가 같다면, 확률밀도함수는 f(x) = 1/10 (0≤x≤10) 이라는 상수함수가 돼요.
- 전체 넓이 확인: 가로 10, 세로 1/10인 직사각형의 넓이는 10 × (1/10) = 1 입니다. (성질 만족!)
- 구간 확률 구하기: “2분에서 5분 사이에 버스를 만날 확률”은? ➝ x=2부터 x=5까지의 넓이를 구하면 돼요. 가로 (5-2)=3, 세로 1/10 이므로, 넓이(확률) = 3 × (1/10) = 3/10 입니다.
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) = 1/2 – (1/8)x (단, 0≤x≤4) 일 때, P(0 ≤ X ≤ 2)를 구하시오.
풀이:
이 확률은 x=0부터 x=2까지 f(x)의 그래프 아래 넓이와 같아요. 그래프를 그려보면 이 구간은 사다리꼴 모양이 됩니다.
- x=0일 때의 높이 f(0) = 1/2 – 0 = 1/2
- x=2일 때의 높이 f(2) = 1/2 – (1/8)×2 = 1/2 – 1/4 = 1/4
- 사다리꼴 넓이 = (1/2) × (윗변 + 아랫변) × 높이
(1/2) × (1/4 + 1/2) × 2 = 3/4
따라서 정답은 3/4 입니다.
💡 참고: 등호(≤)는 신경 쓰지 마세요!
연속확률변수에서는 ‘경계값’은 확률에 영향을 주지 않아요! 왜냐하면 P(X=a)처럼 특정 한 지점에서의 확률은 넓이가 없는 ‘선’의 넓이와 같아서 0이기 때문이죠. 그래서 P(a ≤ X ≤ b) 나 P(a < X < b) 나 그 값은 똑같이 a부터 b까지의 넓이랍니다. 문제에서 등호가 있고 없고에 당황하지 마세요!