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[수학포스팅] 424 확률질량함수의 성질 💯 모든 확률의 합은 반드시 1!
✨ 핵심만정리
확률분포표 또는 확률질량함수가 되기 위한 **필수 조건 2가지**예요. 이 두 가지만 기억하면 돼요!
1. 각각의 확률은 0과 1 사이의 값을 갖는다.
(0 ≤ P(X=xᵢ) ≤ 1)
2. 모든 확률의 총합은 반드시 1이다.
(p₁ + p₂ + … + pₙ = 1)
🎨 개념정리: ‘진짜’ 확률분포가 되기 위한 조건
안녕하세요, 수학포스팅입니다! 우리가 만든 확률분포표가 ‘진짜’ 확률분포표라고 말하려면, 반드시 지켜야 할 두 가지 중요한 규칙이 있어요. 이 규칙들을 모르면 표에 빈칸이 있거나 잘못된 값을 찾아낼 수 없답니다. 아주 간단하지만 강력한 두 가지 성질, 함께 알아볼까요?
1. 각 확률은 0과 1 사이! (0 ≤ pᵢ ≤ 1)
첫 번째 성질은 확률의 기본 성질과 같아요. 각각의 사건이 일어날 확률은 절대로 0보다 작거나 1보다 클 수 없다는 거예요. 확률이 음수(-)이거나 100%를 넘을 수는 없으니까요!
2. 확률의 총합은 1! (p₁ + p₂ + … = 1)
두 번째 성질은 훨씬 더 중요해요. 확률변수 X가 가질 수 있는 모든 값들에 대한 확률을 전부 더하면, 그 합은 **반드시 1**이 되어야 해요. 왜냐하면 ‘어떤 결과든 반드시 나온다’는 전사건의 확률이 1이기 때문이죠. 확률들을 모두 더했다는 건, 일어날 수 있는 모든 경우를 고려했다는 뜻이니까요.
예를 들어 동전을 두 번 던져 앞면이 나오는 횟수(X)의 확률분포에서, P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 이었죠. 이 확률들을 모두 더하면 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1이 되어 성립하는 것을 볼 수 있어요.
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 확률변수 X의 확률분포표가 아래와 같을 때, 다음을 구하시오. (단, a는 상수)
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 합계 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 1/6 | 1/3 | a | 1/6 | 1 |
(1) a의 값 구하기
풀이: 모든 확률의 총합은 1이어야 하므로 , 1/6 + 1/3 + a + 1/6 = 1 입니다. 계산하면 a + 2/3 = 1 이므로, a = 1/3 입니다.
(2) P(1 ≤ X ≤ 3) 구하기
풀이: X가 1 이상 3 이하일 확률은 P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) 을 의미해요. 따라서 1/3 + a + 1/6 = 1/3 + 1/3 + 1/6 = 5/6 입니다.
(3) P(X < 2) 구하기
풀이: X가 2보다 작을 확률은 P(X=0) + P(X=1) 을 의미해요. 따라서 1/6 + 1/3 = 1/2 입니다.
💡 참고: ‘총합은 1’은 문제 풀이의 열쇠!
오늘 배운 ‘모든 확률의 합은 1이다’라는 성질은 단순히 개념 확인에만 쓰이는 게 아니에요. 확률분포표에 a, b 같은 미지수가 포함된 문제를 풀 때, 이 성질은 미지수를 구할 수 있는 ‘방정식’ 역할을 한답니다. 통계 문제 풀이의 아주 중요한 열쇠가 되니 꼭 기억해주세요!