✨ 핵심만정리

결론부터 말하면, 두 사건 A, B의 확률이 0이 아닐 때, 배반사건과 독립사건은 **절대 동시에 될 수 없는 관계**예요!

🎨 개념정리: 물과 기름 같은 두 관계

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 확률에서 학생들이 가장 많이 헷갈려 하는 두 라이벌, ‘배반’과 ‘독립’의 관계를 오늘 확실하게 정리해 드릴게요. 물과 기름처럼 절대 섞일 수 없는 이 두 개념, 왜 그런지 알아볼까요?

1. 배반사건이면 왜 반드시 종속일까?

배반사건은 ‘두 사건이 절대 같이 일어나지 않는다’는 뜻이죠. 주사위를 던질 때 ‘홀수가 나오는 사건(A)’과 ‘짝수가 나오는 사건(B)’을 생각해보세요. 만약 홀수가 나왔다면(A가 일어났다면), 짝수가 나올 확률은 0이 되어버리죠. 원래 짝수가 나올 확률 P(B)는 1/2이었는데 말이에요! 이렇게 A의 발생이 B의 확률에 엄청난 영향을 주었으니, 이건 **종속**일 수밖에 없어요.

수식으로 봐도 명확해요. 배반사건이므로 P(A∩B) = 0 입니다. 만약 독립이라면 P(A∩B) = P(A)×P(B)여야 하는데, P(A)와 P(B)가 0이 아니면 P(A)×P(B)도 0이 아니죠. 등식이 성립하지 않으므로, 배반사건은 독립이 될 수 없어요.

2. 독립사건이면 왜 배반이 아닐까?

독립사건은 ‘서로 영향을 안 준다’는 뜻이죠. A가 일어나든 말든 B의 확률은 그대로여야 해요. 만약 두 사건이 배반이라면, A가 일어나는 순간 B가 일어날 확률이 0이 되어버리므로 ‘영향을 안 준다’는 독립의 정의가 깨져버려요. 따라서 독립이라면 배반일 수가 없는 거죠. 수식으로는, 독립일 때 P(A∩B) = P(A)×P(B) > 0 이므로, P(A∩B) = 0 이어야 하는 배반사건의 조건을 만족하지 못합니다.

👀 개념확인: 배반사건 vs 독립사건 비교표

두 개념의 차이점을 표로 깔끔하게 정리해 봅시다.

구분	배반사건	독립사건
의미	두 사건이 동시에 일어나지 않음	두 사건이 서로 확률에 영향을 주지 않음
판단 방법	P(A∩B) = 0 인지 확인	P(A∩B) = P(A)×P(B) 인지 확인
덧셈정리	P(A∪B) = P(A)+P(B)	P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)

💡 참고: 질문의 핵심을 파악하자!

두 개념을 구별하는 가장 쉬운 방법은 ‘확인해야 할 질문’이 무엇인지 아는 거예요.

• 배반? ➝ 교집합이 공집합인가? (벤다이어그램에서 겹치는 부분이 없는가?)
• 독립? ➝ P(A∩B) = P(A)×P(B) 등식이 성립하는가? (확률 값을 직접 계산해야 함)

‘배타적이다(exclusive)’와 ‘상관없다(independent)’라는 우리말 뜻을 생각하면 구별하기 좀 더 쉬울 거예요.