✨ 핵심만정리

확률의 곱셈정리는 사건 A와 사건 B가 **모두(그리고, and)** 일어날 확률, 즉 곱사건 P(A∩B)를 구하는 공식이에요. 조건부확률 공식에서 바로 유도된답니다!

🎨 개념정리: 조건부확률의 재탄생

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 조건부확률 공식 P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 기억나나요? 이 식의 양변에 P(A)를 곱해주기만 하면, 두 사건이 연달아 일어날 확률을 구하는 강력한 무기, **확률의 곱셈정리**가 탄생한답니다!

이 공식은 ‘A가 일어나고, 그리고 그 다음에 B도 일어날 확률’을 계산하는 아주 논리적인 순서를 그대로 보여줘요.

예시: 주머니에서 연속으로 공 꺼내기

주머니에 흰 공 3개, 검은 공 4개가 들어있어요. 공을 한 개씩 두 번 연속으로 꺼낼 때, **두 번 모두 검은 공**을 뽑을 확률을 구해봅시다. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않아요.)

1. 첫 번째에 검은 공을 뽑을 확률 (P(A))
   전체 7개의 공 중에서 검은 공은 4개 있으므로, P(A) = 4/7 입니다.
2. 첫 번째에 검은 공을 뽑았다는 조건 하에, 두 번째도 검은 공을 뽑을 확률 (P(B|A))
   첫 번째 시행 후, 주머니에는 공이 6개 남았고, 검은 공은 3개 남았어요. 따라서 P(B|A) = 3/6 = 1/2 입니다.
3. 두 확률을 곱하기!
   두 사건이 연달아 일어날 확률은 이 두 확률을 곱하면 됩니다.
   
   P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = (4/7) × (1/2) = 2/7

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(A|B)=0.5 일 때, P(B|A)를 구하시오.

풀이:

이 문제는 우리가 아는 정보들을 조합해서 풀어야 해요.

1. P(A∩B) 먼저 구하기
곱셈정리 P(A∩B) = P(B) × P(A|B) 를 이용할 수 있겠네요.
P(A∩B) = 0.6 × 0.5 = 0.3

2. P(B|A) 구하기
이제 조건부확률의 정의를 이용할 차례예요. P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P(B|A) = 0.3 / 0.4 = 3/4 = 0.75

💡 참고: 덧셈은 ‘또는’, 곱셈은 ‘그리고’

확률의 덧셈정리는 ‘또는(or)’의 확률을 구할 때, 곱셈정리는 ‘그리고(and)’의 확률을 구할 때 주로 사용돼요.

특히 곱셈정리에서는 **앞선 사건이 뒤따라 일어날 사건의 확률에 영향을 준다**는 점을 기억하는 게 중요해요. 그래서 그냥 P(B)가 아닌 P(B|A)를 곱하는 것이죠. 만약 두 사건이 서로 아무런 영향을 주지 않는다면(독립이라면) 어떻게 될까요? 그 흥미로운 이야기는 다음 시간에 계속됩니다!