✨ 핵심만정리

기하적 확률은 길이, 넓이, 부피처럼 연속적인 값을 갖는 변수에서 확률을 구하는 방법이에요. 경우의 수를 ‘개수’가 아닌 ‘크기’로 계산하는 것이 핵심입니다.

• 사용 상황: 경우의 수를 하나하나 셀 수 없을 때 (예: 시간, 길이, 넓이 등)
• 기하적 확률 공식:

🎨 개념정리: 셀 수 없다면, 크기를 재라!

안녕하세요, 수학포스팅입니다! “주사위를 던져 3이 나올 확률”은 1/6이라고 쉽게 계산했죠. 경우의 수를 셀 수 있었으니까요. 하지만 “0분에서 10분 사이에 버스가 도착할 때, 내가 2분에서 5분 사이에 버스를 만날 확률”은 어떻게 구할까요? 시간은 2.1분, 2.11분, 2.111분처럼 무한히 쪼갤 수 있어 경우의 수를 셀 수가 없어요. 이럴 때 사용하는 것이 바로 **기하적 확률**입니다.

1. 길이로 확률 구하기

길이가 8인 선분 AB 위에 임의로 점 하나를 찍을 때, 그 점이 길이가 3인 선분 CD 위에 있을 확률을 구해볼까요? (단, 선분 CD는 선분 AB에 포함)

• 전체 영역의 크기(길이): 선분 AB의 길이 = 8
• 사건 영역의 크기(길이): 선분 CD의 길이 = 3

확률은 전체 길이에서 해당하는 길이가 차지하는 비율과 같아요.

2. 넓이로 확률 구하기 (과녁 문제)

기하적 확률의 가장 대표적인 예시인 과녁 문제를 봅시다. 반지름이 각각 1, 2, 3인 세 원으로 이루어진 과녁에 화살을 임의로 쐈을 때, 반지름 1과 2 사이의 색칠된 부분에 맞을 확률을 구해봅시다.

• 전체 영역의 크기(넓이): 가장 큰 원(반지름 3)의 넓이 = π × 3² = 9π
• 사건 영역의 크기(넓이): 색칠된 부분의 넓이는 중간 원 넓이에서 가장 작은 원 넓이를 뺀 값이에요.
  (π × 2²) – (π × 1²) = 4π – π = 3π

따라서 확률은 전체 넓이에서 해당하는 넓이가 차지하는 비율이 됩니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 시계의 분침이 고장 나 임의의 위치에 멈춘다고 합니다. 이때 분침이 12와 3 사이(15분 구간)를 가리킬 확률은 얼마일까요? (단, 경계선은 무시합니다.)

풀이:

이 문제는 ‘시간’ 또는 ‘각도’라는 연속적인 값을 다루므로 기하적 확률을 사용해야 해요.

• 전체 영역: 시계 한 바퀴 = 60분
• 사건 영역: 12시부터 3시까지의 구간 = 15분

따라서 정답은 1/4 입니다.

💡 참고: ‘임의로’라는 말의 중요성

기하적 확률 문제에는 ‘임의로’, ‘무작위로’ 같은 표현이 꼭 따라다녀요. 왜일까요? 이는 ‘모든 지점을 선택할 가능성이 똑같이 기대된다’는 중요한 가정을 담고 있기 때문이에요.

만약 과녁 문제에서 선수가 점수가 높은 중앙만 집중적으로 노려서 쏜다면, 화살이 꽂힐 가능성은 위치마다 달라지겠죠? 이런 경우에는 기하적 확률을 적용할 수 없답니다. ‘임의로’라는 조건이 바로 기하적 확률을 사용할 수 있는 열쇠인 셈이죠!