✨ 핵심만정리

‘사건’은 ‘집합’이라고 생각하면 쉬워요. 사건의 연산은 집합의 연산과 완벽하게 대응된답니다!

• 합사건 (A 또는 B): A ∪ B (A와 B의 합집합)
• 곱사건 (A 그리고 B): A ∩ B (A와 B의 교집합)
• 배반사건 (동시에 일어나지 않음): A ∩ B = Ø (두 집합이 서로소)
• 여사건 (A가 일어나지 않음): Aᶜ (A의 여집합)

🎨 개념정리: 집합으로 확률 용어 정복하기

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 ‘사건’이 표본공간이라는 전체집합의 ‘부분집합’과 같다는 사실, 기억하시나요? 오늘은 이 개념을 이용해서 여러 사건들을 더하고 곱하는 ‘사건의 연산’을 배워볼 거예요. 집합의 연산만 잘 알고 있다면 정말 쉽답니다!

오늘도 ‘주사위 한 개를 던지는 시행’을 예로 들어볼게요. 표본공간 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 입니다.

1. 합사건 (또는 / 합집합)

사건 A를 ‘홀수가 나오는 사건’ {1, 3, 5}, 사건 B를 ‘4 이하의 눈이 나오는 사건’ {1, 2, 3, 4}라고 해봅시다. 이때 ‘홀수 **또는** 4 이하의 눈이 나오는 사건’을 A와 B의 **합사건**이라고 해요. 두 사건의 원소를 모두 합친, 집합의 **합집합(A ∪ B)**과 같아요.

2. 곱사건 (그리고 / 교집합)

그럼 ‘홀수**이면서 동시에** 4 이하의 눈이 나오는 사건’은 무엇일까요? 이것을 A와 B의 **곱사건**이라고 부릅니다. 두 사건에 공통으로 포함되는 원소, 즉 집합의 **교집합(A ∩ B)**과 같죠.

3. 배반사건 (겹치지 않음 / 서로소)

사건 C를 ‘짝수가 나오는 사건’ {2, 4, 6}이라고 해봅시다. 사건 A(홀수)와 사건 C(짝수)는 동시에 일어날 수 있나요? 절대로 불가능하죠. 이렇게 **동시에 일어날 수 없는, 즉 교집합이 공집합(Ø)인 두 사건의 관계를 ‘서로 배반이다’**라고 말하고, 이 두 사건을 **배반사건**이라고 해요. 집합에서는 ‘서로소’ 관계라고 불렀었죠.

4. 여사건 (그것만 아니면 돼 / 여집합)

사건 A(홀수)가 일어나지 않는 사건은 무엇일까요? 바로 ‘짝수의 눈이 나오는 사건 C’죠. 이렇게 **어떤 사건이 일어나지 않는 나머지 전체 사건**을 그 사건의 **여사건**이라고 불러요. 집합의 **여집합**과 똑같은 개념이고, 기호도 Aᶜ처럼 똑같이 쓴답니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 10장 중 임의로 한 장을 뽑는 시행에서, 아래 사건들을 정의합시다.

• 사건 A: 소수가 나오는 경우 = {2, 3, 5, 7}
• 사건 B: 4의 배수가 나오는 경우 = {4, 8}
• 사건 C: 홀수가 나오는 경우 = {1, 3, 5, 7, 9}

(1) 사건 A와 B의 합사건(A∪B)을 구하시오.
A 또는 B에 속하는 모든 원소를 합치면 되므로, {2, 3, 4, 5, 7, 8} 입니다.

(2) 사건 A와 C의 곱사건(A∩C)을 구하시오.
A와 C에 공통으로 속하는 원소를 찾으면 되므로, {3, 5, 7} 입니다.

(3) 사건 A, B, C 중 서로 배반사건인 관계를 모두 찾으시오.
교집합이 공집합인 관계를 찾으면 됩니다. A와 B는 겹치는 원소가 없으므로 (A ∩ B = Ø), A와 B는 서로 배반사건입니다.

(4) 사건 C의 여사건(Cᶜ)을 구하시오.
전체 표본공간 {1, …, 10}에서 홀수가 아닌 나머지, 즉 짝수를 모두 찾으면 됩니다. 따라서 Cᶜ = {2, 4, 6, 8, 10} 입니다.

💡 참고: 여사건과 배반사건의 관계

어떤 사건 A와 그 여사건 Aᶜ는 서로 겹치는 부분이 하나도 없겠죠? 따라서 **한 사건과 그 여사건은 항상 서로 배반사건**이랍니다. 이 ‘여사건’의 개념은 나중에 ‘적어도 ~일 확률’처럼 복잡해 보이는 확률 문제를 아주 간단하게 풀 수 있는 열쇠가 되니 꼭 기억해주세요!