✨ 핵심만정리

파스칼의 삼각형에는 두 가지 신기하고 유용한 패턴이 숨어있어요!

• 하키 스틱 패턴: 삼각형의 가장자리 1에서 시작하여 대각선으로 숫자들을 더하면, 그 합은 마지막으로 더한 숫자에서 아래로 꺾이는 위치에 있는 숫자와 같아요.
• 각 줄(단계)의 합: 파스칼의 삼각형에서 n번째 줄에 있는 모든 숫자들의 합은 2ⁿ⁻¹ 입니다. (단, 맨 위 1을 첫 번째 줄로 계산)

🎨 개념정리: 삼각형 속 숨은 그림 찾기

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간엔 파스칼의 삼각형을 만드는 기본 원리를 배웠죠. 오늘은 이 삼각형이 단순한 숫자 나열이 아니라, 놀라운 규칙을 품고 있는 보물 지도라는 것을 보여드릴게요. 바로 ‘하키 스틱 패턴’과 ‘각 줄의 합의 비밀’입니다!

1. 하키 스틱 패턴

위 삼각형에서 하키 스틱 모양을 찾아보세요!

• 왼쪽 하키 스틱 🏒:
  왼쪽 가장자리 1에서 시작해서 오른쪽 아래 대각선으로 숫자를 더해볼까요? 예를 들어, 1 + 3 + 6 + 10을 계산하면 20이 됩니다. 그런데 20은 마지막으로 더한 10의 바로 아래에 있는 숫자죠! 이렇게 하키 스틱 모양으로 꺾이는 위치의 숫자와 합이 같아요.
• 오른쪽 하키 스틱 🏒:
  반대 방향도 마찬가지예요. 오른쪽 가장자리 1에서 시작해서 왼쪽 아래 대각선으로 더해볼게요. 예를 들어, 1 + 2 + 3 + 4 + 5를 더하면 15가 됩니다. 이 값은 마지막으로 더한 5의 바로 아래 있는 15와 정확히 일치해요.

2. 각 줄의 합의 비밀

이번엔 각 줄(가로)에 있는 숫자들을 모두 더해볼까요?

• 1번째 줄: 1 = 2⁰
• 2번째 줄: 1 + 1 = 2 = 2¹
• 3번째 줄: 1 + 2 + 1 = 4 = 2²
• 4번째 줄: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

규칙이 보이나요? n번째 줄의 합은 정확히 2ⁿ⁻¹ 이 됩니다. 사실 이 내용은 이항계수의 성질에서 배운 ‘nC0 + nC1 + … + nCn = 2ⁿ’ 와 같은 원리랍니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제 1: 파스칼의 삼각형에서 1 + 4 + 10 + 20 의 값은 얼마일까요?

풀이: 하키 스틱 패턴을 이용해 봅시다! 1, 4, 10, 20은 위 삼각형 그림에서 대각선으로 이어져 있어요. 그렇다면 합은 마지막 숫자 20에서 아래로 꺾이는 위치에 있는 숫자겠죠? 바로 35입니다.

문제 2: 파스칼의 삼각형의 6번째 줄에 있는 모든 수의 합은 얼마일까요?

풀이: ‘각 줄의 합’ 규칙을 적용해 봅시다. n번째 줄의 합은 2ⁿ⁻¹ 이므로, 6번째 줄의 합은 2⁶⁻¹ = 2⁵ 입니다.

정답은 **32**입니다.

💡 참고: 하키 스틱 패턴은 왜 성립할까?

신기한 하키 스틱 패턴은 마술이 아니라 파스칼의 삼각형을 만드는 핵심 원리인 ‘nCr = (n-1)C(r-1) + (n-1)Cr’ 때문에 성립하는 거예요. 시작하는 1을 2C0 대신 3C0으로 바꾸는 등 조합의 성질을 연쇄적으로 적용하면 원하는 값이 정확하게 유도된답니다. 모든 신기한 패턴 뒤에는 이렇게 탄탄한 수학적 원리가 숨어 있다는 사실, 정말 멋지지 않나요?