✨ 핵심만정리

이항정리(Binomial Theorem)는 이름 그대로 항이 2개인 식, 즉 (a+b)의 거듭제곱을 쉽게 전개하는 공식이에요.

이 모든 것의 핵심은 바로 **일반항**입니다. 일반항만 알면 원하는 항의 계수를 무엇이든 구할 수 있어요!

🎨 개념정리: 전개식의 계수를 조합으로 구한다고?

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 우리는 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 정도는 쉽게 전개할 수 있죠. 하지만 (a+b)^3 이나 (a+b)^10 처럼 차수가 높아지면 일일이 전개하기는 너무 힘들어요. 이럴 때 필요한 것이 바로 이항정리입니다.

📝 (a+b)^3 전개로 원리 파헤치기

(a+b)^3은 (a+b)(a+b)(a+b)를 의미해요. 이 식을 전개한다는 건, 3개의 괄호에서 각각 a 또는 b 중 하나씩을 뽑아 곱하는 모든 경우를 더하는 것과 같아요.

• a³ 항이 나오는 경우:
  세 괄호 모두에서 a를 뽑아야만 해요. (a, a, a) 이렇게요. b는 한 번도 뽑지 않았죠? 3개의 괄호 중 b를 0개 뽑는 경우의 수, 즉 **3C0 = 1**가지입니다.
• a²b 항이 나오는 경우:
  세 괄호 중 b는 딱 한 번만 뽑고, 나머지 두 괄호에서는 a를 뽑아야 해요. 어느 괄호에서 b를 뽑을지 고르는 경우의 수는 **3C1 = 3**가지입니다.
• ab² 항이 나오는 경우:
  세 괄호 중 b를 두 번 뽑아야 해요. 어느 두 괄호에서 b를 뽑을지 고르는 경우의 수는 **3C2 = 3**가지입니다.
• b³ 항이 나오는 경우:
  세 괄호 모두에서 b를 뽑아야 해요. 3개의 괄호 중 b를 3개 뽑는 경우의 수, **3C3 = 1**가지입니다.

이걸 모두 합치면 (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ 이라는 익숙한 공식이 완성돼요! 결국 각 항의 계수는 조합(C)으로 결정되는 거였네요.

⭐ 일반항으로 모든 것을 지배하기

이 원리를 확장하면, (a+b)^n의 전개식에서 특정 항, 예를 들어 a^(n-r)b^r의 계수는 ‘n개의 괄호 중에서 b를 뽑을 r개의 괄호를 선택하는 경우의 수’와 같아요. 따라서 계수는 **nCr**이 됩니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제 1: (a+b)⁸ 의 전개식에서 a³b⁵ 항의 계수를 구하시오.

풀이:

전체 8제곱(n=8)에서 b를 5번(r=5) 뽑는 경우의 계수를 찾으면 돼요.

일반항 nCr a^(n-r) b^r 에 n=8, r=5를 대입하면 계수는 8C5 입니다.

문제 2: 이항정리를 이용하여 (2x-y)⁴ 을 전개하시오.

풀이:

이 문제는 a 대신 ‘2x’, b 대신 ‘-y’가 들어간 이항정리예요. n=4 입니다. 차근차근 전개해 볼게요.

• 4C0 (2x)⁴ (-y)⁰ = 1 × 16x⁴ × 1 = 16x⁴
• 4C1 (2x)³ (-y)¹ = 4 × 8x³ × (-y) = -32x³y
• 4C2 (2x)² (-y)² = 6 × 4x² × y² = 24x²y²
• 4C3 (2x)¹ (-y)³ = 4 × 2x × (-y³) = -8xy³
• 4C4 (2x)⁰ (-y)⁴ = 1 × 1 × y⁴ = y⁴

💡 참고: 계수의 아름다운 대칭성!

혹시 계수에서 어떤 규칙을 발견했나요? (a+b)³의 계수는 1, 3, 3, 1이고, (2x-y)⁴의 계수는 1, 4, 6, 4, 1 (부호 제외) 이죠. 모두 좌우가 완벽한 대칭을 이뤄요!

그 이유는 조합의 성질인 nCr = nC(n-r) 때문이에요. 예를 들어 8C2와 8C6은 같고, 8C3과 8C5는 같죠. 그래서 이항계수는 항상 양 끝을 기준으로 대칭적인 값을 갖게 된답니다. 이 성질은 다음 개념인 ‘파스칼의 삼각형’에서 더욱 빛을 발할 거예요!