이 포스팅은 데스크톱 또는 태블릿의 ‘가로 모드’에서 가장 선명하게 보입니다.
[수학포스팅] 399 같은 것이 있는 순열 🧦 짝이 같은 양말도 나열할 수 있어!
✨ 핵심만정리
같은 것이 있는 순열이란, 전체 n개 중에서 같은 것이 각각 p개, q개, … , r개씩 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 말해요.
계산 공식은 전체를 다른 것으로 보고 계산한(n!) 뒤, 같은 것들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수(p!, q!, …)로 나눠주는 거예요.
같은 것이 있는 순열의 수 = n! / (p! × q! × … × r!)
🎨 개념정리: ‘banana’의 알파벳을 섞어보자!
안녕하세요! 수학의 원리를 파헤치는 수학포스팅입니다. ‘A, B, C’ 세 문자를 나열하는 방법은 3! = 6가지였죠. 하지만 만약 ‘A, A, B’를 나열한다면 어떨까요? A가 두 개나 있네요! 이렇게 일부가 똑같을 때의 순열이 바로 ‘같은 것이 있는 순열’입니다.
📝 예시: 빨간 공 2개, 파란 공 3개 나열하기
모양과 크기가 같은 빨간 공 2개와 파란 공 3개를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구해봅시다.
- 일단 모두 다른 공이라고 상상해요.
만약 공들이 ‘빨1, 빨2, 파1, 파2, 파3’처럼 모두 달랐다면, 나열하는 방법은 총 5! = 120가지였을 거예요. - 같은 것끼리의 자리 바꿈은 ‘무효’ 처리!
하지만 실제로는 ‘빨1-빨2’ 순서와 ‘빨2-빨1’ 순서는 그냥 똑같은 ‘빨강-빨강’으로 보여요. 이 두 가지(2!)를 한 가지로 봐야 하므로, 전체 경우의 수를 2!로 나눠줘야 해요. - 파란 공도 마찬가지예요.
파란 공 3개도 자기들끼리 자리를 바꾸는 3! = 6가지 경우는 모두 똑같은 ‘파랑-파랑-파랑’으로 보이죠. 그러니 3!로 또 나눠줘야 합니다. - 최종 계산
결론적으로, 전체 경우의 수에서 중복되는 경우들을 모두 나눠주면 됩니다.120 / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10가지
이것이 바로 같은 것이 있는 순열의 핵심 원리랍니다!
👀 개념확인 문제 풀어보기!
이제 배운 개념을 문제에 적용해 볼까요?
문제 1: 5개의 문자 x, x, y, y, y 를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구해보세요.
풀이:
- 전체 문자의 개수(n) = 5개
- 같은 문자 x의 개수(p) = 2개
- 같은 문자 y의 개수(q) = 3개
5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10가지
문제 2: 5개의 숫자 1, 2, 2, 3, 3을 모두 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수를 구해보세요.
풀이:
- 전체 숫자의 개수(n) = 5개
- 같은 숫자 2의 개수(p) = 2개
- 같은 숫자 3의 개수(q) = 2개
5! / (2! × 2!) = 120 / (2 × 2) = 30가지
💡 참고: 최단경로 찾기에도 쓰인다고?
오늘 배운 ‘같은 것이 있는 순열’은 아주 유용하게 쓰이는 곳이 있어요. 바로 ‘격자무늬 길에서 최단경로를 찾는 문제’랍니다! 예를 들어, 가로로 4칸, 세로로 3칸을 가야 하는 최단경로의 수는 ‘오른쪽’ 4개와 ‘위’ 3개를 일렬로 나열하는 것과 같아요. 즉 ‘오, 오, 오, 오, 위, 위, 위’를 나열하는 경우의 수와 같죠. 그래서 7! / (4! × 3!)으로 간단히 계산할 수 있답니다. 정말 신기하죠?