✨ 핵심만정리

중복순열이란, 서로 다른 n개 중에서 **중복을 허용**하여 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수를 말해요.

기호로는 nΠr 로 나타내고, 계산은 아주 간단하답니다!

🎨 개념정리: 썼던 거 또 써도 된다고?

안녕하세요! 수학의 재미를 알려주는 수학포스팅입니다. 혹시 네 자리 숫자 비밀번호를 만들 때, 같은 숫자를 여러 번 사용해 본 적 있나요? ‘1122’나 ‘7777’처럼요. 이게 바로 오늘 배울 ‘중복순열’의 세계랍니다!

지난 시간에 배운 순열은 한 번 쓴 숫자나 카드는 다시 쓸 수 없었죠? 중복순열은 이름 그대로, 중복해서 뽑아도 되는 순열이에요. 훨씬 자유롭죠!

📝 예시: 숫자로 두 자리 자연수 만들기

세 개의 숫자 1, 2, 3을 가지고 만들 수 있는 두 자리 자연수는 몇 개일까요? (단, 같은 숫자를 또 써도 괜찮아요!)

• 십의 자리에 올 수 있는 숫자: 1, 2, 3 (총 3가지)
• 일의 자리에 올 수 있는 숫자: 십의 자리에 뭘 썼든 상관없이 또! 1, 2, 3 (총 3가지)

각 자리마다 3가지 선택권이 있으니, 곱의 법칙에 따라 만들 수 있는 총 개수는 3 × 3 = 9가지가 됩니다.

이것을 중복순열 기호로 나타내면 ‘서로 다른 3개 중에서 중복을 허용해 2개를 뽑아 나열한다’는 의미로 3Π2 라고 써요. 계산은 3의 2제곱, 즉 3^2 = 9 입니다.

⭐ 일반 공식으로 정리하기

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 뽑아 일렬로 나열할 때, 각 자리에 올 수 있는 것은 항상 n가지예요. 이것을 r번 반복하는 것이죠!

그래서 nΠr = n^r 이라는 공식이 탄생한 거랍니다!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 두 가지 부호(△, ○)를 사용해서 만들 수 있는 3자리 신호는 총 몇 가지일까요? (예: △△△, △○△ 등)

풀이:

이 문제는 서로 다른 2개의 부호를 가지고 중복을 허용하여 3개의 자리를 채우는 것과 같아요.

• 선택할 수 있는 부호의 종류(n) = 2가지 (△, ○)
• 만들어야 할 신호의 자릿수(r) = 3자리

공식에 바로 대입해 볼까요? 2Π3 = 2^3 입니다.

따라서 만들 수 있는 신호는 총 8가지입니다!

💡 참고: 순열(nPr)과 중복순열(nΠr)의 결정적 차이!

일반 순열(nPr)에서는 한 번 뽑은 건 다시 사용할 수 없기 때문에, 뽑는 개수(r)가 전체 개수(n)를 넘어설 수 없었어요 (r ≤ n). 하지만 중복순열(nΠr)은 썼던 걸 계속 다시 쓸 수 있기 때문에, 뽑는 개수(r)가 전체 개수(n)보다 더 클 수도 있답니다! 예를 들어, 두 개의 숫자 1, 2로 세 자리 비밀번호(‘111’, ‘121’ 등)를 만드는 것처럼요. (이 경우 2Π3 = 8가지가 가능하죠!)