이 포스팅은 데스크톱 또는 태블릿의 ‘가로 모드’에서 가장 선명하게 보입니다.
[수학포스팅] 원순열 개념 396 🎠 빙글빙글 돌려도 같은 경우의 수!
✨ 핵심만정리
서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 일반 순열의 수(n!)를 n으로 나눈 것과 같아요.
원순열의 수 = n! / n = (n-1)!
🎨 개념정리: 원순열이란 무엇일까?
안녕하세요, 수학을 사랑하는 여러분! 수학포스팅입니다. 오늘은 경우의 수 파트에서 정말 중요하고 재미있는 개념인 ‘원순열’에 대해 알아볼 거예요. 원순열은 이름에서 힌트를 얻을 수 있듯이, 서로 다른 물건들을 원 모양으로 배열하는 순열을 말한답니다.
친구들과 원탁에 둘러앉거나, 예쁜 구슬로 동그란 팔찌를 만드는 상황을 상상해 보면 쉬워요!
📝 예시로 이해하기: 네 친구의 원탁 회의!
여기 a, b, c, d 네 개의 문자가 있다고 해볼까요? 이 문자들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24가지예요.
그런데 이 문자들을 원형으로 배열하면 어떻게 될까요?
예를 들어, 일렬로 나열할 때는 아래 네 가지 경우가 모두 다른 경우였어요.
- (a, b, c, d)
- (d, a, b, c)
- (c, d, a, b)
- (b, c, d, a)
하지만 이 네 가지 경우를 원형으로 배열하면, 모두 똑같은 경우가 된답니다! 왜냐하면 각 문자의 상대적인 위치가 모두 같기 때문이에요. 즉, 한 칸씩 돌리면 완전히 겹쳐지죠.
a
d b
c
이처럼 원형으로 배열할 때는, 일렬로 나열한 경우들 중에서 회전해서 같아지는 것들을 하나로 묶어서 세어야 해요. 4개의 문자를 배열할 때는 4개의 다른 줄 세우기가 하나의 원형 배열과 같아지는 거죠.
따라서 네 개의 문자를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 전체 줄 세우기 경우의 수(4!)를 중복되는 경우의 수(4)로 나누어 계산할 수 있어요.
4! / 4 = 6가지
⭐ 일반 공식으로 정리하기
이 원리를 일반적으로 확장해 보면, 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 일렬로 나열하는 경우의 수(n!)를 n으로 나누는 것과 같아요.
서로 다른 n개의 원순열의 수 = n! / n = (n-1)!
정말 간단하죠? 앞으로 원탁에 앉는 문제가 나오면 당황하지 말고 (n-1)! 공식을 떠올려 주세요!
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 서로 다른 6개의 깃발을 원형으로 배열하는 경우의 수를 구하시오.
풀이:
이 문제는 서로 다른 6개의 깃발을 원형으로 배열하는 것과 같아요. 바로 원순열 문제죠!
따라서 공식 (n-1)!에 n=6을 대입하면 된답니다.
(6-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120가지
따라서 6개의 깃발을 원형으로 배열하는 경우는 총 120가지입니다.
💡 참고: 회전하면 같은 것은 하나로!
원순열에서 가장 중요한 핵심은 ‘회전해서 일치하는 것은 같은 것으로 본다’는 점이에요. 어떤 배열이 다른 배열과 회전해서 똑같아질 수 있다면, 그 둘은 서로 다른 경우로 세지 않고 오직 하나의 경우로만 계산해야 한다는 것을 꼭 기억해 주세요!