⭐ 핵심만정리

삼각방정식이나 부등식의 해가 x의 범위에 제한이 없다면 무수히 많이 나올 수 있어요! 이 모든 해를 나타내는 것이 바로 ‘일반해’랍니다. (단, n은 정수예요!)

• sin x = k의 일반해: (한 특수해를 α라 할 때)
  • x = nπ + (-1)ⁿα
• cos x = k의 일반해: (한 특수해를 α라 할 때, 0 ≤ α ≤ π)
  • x = 2nπ ± α
• tan x = k의 일반해: (한 특수해를 α라 할 때)
  • x = nπ + α
• 삼각부등식의 일반해:
  1. 먼저 방정식으로 생각하고 0 ≤ x < 2π (또는 한 주기) 범위에서 부등식의 해를 구해요.
  2. 구한 해에 주기의 정수배를 더해서 일반해를 나타내요. (예: α < x < β 이면 2nπ + α < x < 2nπ + β (sin, cos) 또는 nπ + α < x < nπ + β (tan))

삼각함수의 주기성을 이용하는 것이 일반해를 구하는 핵심이랍니다! 🔑

📚 개념정리

안녕, 해를 찾는 탐험가 친구들! 🗺️ 지난 시간에는 주어진 범위 내에서 삼각방정식과 부등식의 해를 구하는 방법을 배웠죠? 오늘은 만약 x의 값에 특별한 범위 제한이 없다면, 해가 어떻게 표현되는지, 즉 ‘일반해’를 구하는 방법에 대해 알아볼 거예요. 삼각함수는 주기적으로 반복되는 특징이 있어서 해가 무수히 많이 나올 수 있거든요! 😊

삼각방정식의 일반해: 무한한 해를 한 번에! 🌌

삼각함수는 주기를 가지고 같은 모양이 반복되기 때문에, 삼각방정식의 해는 특별한 범위가 주어지지 않으면 무수히 많이 존재해요. 이 무수히 많은 해를 정수 n을 사용하여 하나의 식으로 나타낸 것을 일반해라고 한답니다.

1. sin x = k (|k| ≤ 1)의 일반해

sin x = k를 만족하는 한 특수한 각을 α라고 할 때, sin x의 주기는 2π이고 sin(π-α) = sin α이므로, 일반해는 다음과 같이 표현할 수 있어요.

x = nπ + (-1)ⁿα (단, n은 정수)

• n이 짝수일 때 (n=2m): x = 2mπ + α
• n이 홀수일 때 (n=2m+1): x = (2m+1)π – α = 2mπ + (π-α)

2. cos x = k (|k| ≤ 1)의 일반해

cos x = k를 만족하는 한 특수한 각을 α (0 ≤ α ≤ π 범위의 값)라고 할 때, cos x의 주기는 2π이고 cos(-α) = cos α이므로, 일반해는 다음과 같이 표현돼요.

x = 2nπ ± α (단, n은 정수)

3. tan x = k의 일반해

tan x = k를 만족하는 한 특수한 각을 α라고 할 때, tan x의 주기는 π이므로, 일반해는 다음과 같아요.

x = nπ + α (단, n은 정수)

삼각부등식의 일반해: 범위도 반복된다! 🔁

삼각부등식의 일반해는 다음과 같은 순서로 구해요.

1. 먼저, 주어진 부등식을 방정식으로 생각하고 0 ≤ x < 2π (사인, 코사인) 또는 -π/2 < x < π/2 (탄젠트)와 같이 한 주기 내에서 부등식의 해를 구해요.
   예를 들어 α < x < β 와 같이 해가 나왔다고 가정해 봅시다.
2. 삼각함수의 주기성을 이용하여 일반해를 구해요.
   • sin x 또는 cos x를 포함하는 부등식 (주기 2π):
     2nπ + α < x < 2nπ + β (단, n은 정수)
   • tan x를 포함하는 부등식 (주기 π):
     nπ + α < x < nπ + β (단, n은 정수)

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✅ 개념확인

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💡 참고