283 삼각함수 그래프의 평행이동 🚌: 기본 그래프를 옮겨보자!
⭐ 핵심만정리
기본 삼각함수 그래프에 평행이동 마법을 걸면 어떻게 변할까요? 그 원리를 이해하면 복잡한 그래프도 문제없어요! ✨
함수 y = a sin b(x-p) + q, y = a cos b(x-p) + q, y = a tan b(x-p) + q의 그래프는 각각 기본형 y = a sin bx, y = a cos bx, y = a tan bx의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이에요.
- y = a sin b(x-p) + q, y = a cos b(x-p) + q의 특징:
- 최댓값: |a| + q
- 최솟값: -|a| + q
- 주기: 2π / |b| (평행이동해도 주기는 변하지 않아요!)
- y = a tan b(x-p) + q의 특징:
- 최댓값, 최솟값: 없음 (치역은 실수 전체)
- 주기: π / |b| (평행이동해도 주기는 변하지 않아요!)
- 점근선: 기본형 y = a tan bx의 점근선 bx = nπ + π/2를 x축으로 p만큼 평행이동!
➡️ b(x-p) = nπ + π/2 즉, x = p + (nπ + π/2)/b (n은 정수)
평행이동은 그래프의 모양 자체(진폭, 주기)는 바꾸지 않고, 위치만 옮긴다는 점을 기억하세요! 🚗💨
📚 개념정리
안녕, 그래프 이동 마법사 친구들! 🪄 지난 시간에는 기본 삼각함수(sin x, cos x, tan x)에 계수 a, b가 붙으면서 진폭과 주기가 변하는 것을 배웠죠? (y=a \sin bx 등) 오늘은 이 그래프들을 x축, y축으로 평행이동시켜서 만드는 더 일반적인 형태의 삼각함수 그래프에 대해 알아볼 거예요. 마치 기본 블록을 원하는 위치로 옮겨서 새로운 작품을 만드는 것과 같답니다! 😊
우리가 도형을 평행이동할 때의 규칙을 떠올려 볼까요?
- y=f(x)를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 y=f(x-p)
- y=f(x)를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y-q=f(x), 즉 y=f(x)+q
이 규칙을 삼각함수에도 똑같이 적용할 수 있어요!
1. y = a sin b(x-p) + q 와 y = a cos b(x-p) + q 그래프 🌊
이 함수들은 각각 y = a sin bx 와 y = a cos bx의 그래프를
- x축 방향으로 p만큼
- y축 방향으로 q만큼
평행이동한 것이에요. 이 평행이동으로 인해 그래프의 최댓값, 최솟값, 그리고 그래프의 시작점(또는 기준점)의 위치가 변하게 된답니다. 하지만 주기는 변하지 않아요!
- 최댓값: y = a sin bx의 최댓값은 |a|였죠? 이것을 y축으로 q만큼 올렸으니, 새로운 최댓값은 |a| + q가 돼요.
- 최솟값: 마찬가지로 최솟값은 -|a| + q가 됩니다.
- 주기: 평행이동은 그래프의 모양을 바꾸지 않으므로, 주기는 원래대로 2π / |b| 예요.
예) y = 3cos(2x – π/2) + 1 그래프
식을 y = 3cos[2(x – π/4)] + 1로 바꿔서 생각하면,
이것은 y = 3cos2x 그래프를 x축으로 π/4만큼, y축으로 1만큼 평행이동한 것이에요.
- 최댓값: |3| + 1 = 4
- 최솟값: -|3| + 1 = -2
- 주기: 2π / |2| = π
y = 3cos(2x-π/2)+1 (색깔)
x축 π/4, y축 1만큼 이동
2. y = a tan b(x-p) + q 그래프 🎢
탄젠트 함수 y = a tan bx의 그래프를 평행이동한 것이에요.
- 최댓값, 최솟값: 원래 탄젠트 함수처럼 최댓값과 최솟값은 없어요. (치역은 실수 전체)
- 주기: 평행이동해도 주기는 변하지 않아요. π / |b| 입니다.
- 점근선: 이것이 가장 중요해요! y = a tan bx의 점근선은 bx = nπ + π/2 (n은 정수)였죠?
평행이동하면 점근선도 똑같이 이동해요. y = a tan b(x-p) + q의 점근선은 b(x-p)가 원래 점근선 위치가 되도록 하는 x값을 찾으면 돼요.
즉, b(x-p) = nπ + π/2 ➡️ x – p = (1/b)(nπ + π/2) ➡️ x = p + (1/b)(nπ + π/2) (n은 정수) 가 새로운 점근선의 방정식이 된답니다!
예) y = tan(x + π/3) – 2 그래프
이것은 y = tan x 그래프를 x축으로 -π/3만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 것이에요. (p = -π/3, q = -2)
- 주기: π / |1| = π
- 점근선: 원래 점근선 x = nπ + π/2에서, x + π/3 = nπ + π/2
x = nπ + π/2 – π/3 = nπ + π/6 (n은 정수)
y = tan(x+π/3)-2 (색깔)
x축 -π/3, y축 -2만큼 이동
점근선 x=nπ+π/6
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 함수 y = 2sin(3x – π) + 1의 최댓값, 최솟값, 주기를 구하고, 이 함수는 y = 2sin3x의 그래프를 x축의 방향으로 얼마만큼, y축의 방향으로 얼마만큼 평행이동한 것인지 말하시오.
(문제 변경: 원본은 y=-cos(2x-π/2)+3 )💡 풀이:
주어진 함수는 y = a sin(bx+c) + d 꼴이에요. 먼저 y = a sin b(x-p) + q 형태로 바꿔봅시다.
y = 2sin(3x – π) + 1 = 2sin[3(x – π/3)] + 1
여기서 a=2, b=3, p=π/3, q=1 입니다.
- 최댓값: |a| + q = |2| + 1 = 2 + 1 = 3
- 최솟값: -|a| + q = -|2| + 1 = -2 + 1 = -1
- 주기: 2π / |b| = 2π / |3| = 2π/3
평행이동 관계:
함수 y = 2sin[3(x – π/3)] + 1은 y = 2sin3x의 그래프를
- x축의 방향으로 π/3만큼 (p = π/3)
- y축의 방향으로 1만큼 (q = 1)
평행이동한 것입니다! 😄
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💡 참고
삼각함수 그래프의 평행이동을 파악할 때 가장 중요한 것은 식을 y = a \cdot 삼각함수[b(x-p)] + q 꼴로 정확하게 변형하는 거예요! 🧐
만약 y = sin(2x – π/3)와 같이 x 앞의 계수 b가 1이 아닌 경우, b로 묶어내서 y = sin[2(x – π/6)] 형태로 만들어야 x축 평행이동량 p를 정확히 알 수 있어요. (이 경우 p = π/6이지, π/3이 아니에요!)
또한, 평행이동은 그래프의 기본적인 모양(주기, 진폭)은 변화시키지 않고 위치만 옮긴다는 점을 기억하세요. 최댓값/최솟값은 y축 평행이동과 진폭 a에 의해, 주기는 x의 계수 b에 의해서만 결정된답니다! 이 관계들을 잘 이해하면 복잡해 보이는 삼각함수 그래프도 쉽게 분석할 수 있을 거예요! 😉