281 삼각함수의 특별한 성질 🔄: 함수값과 역수 관계 마스터!
⭐ 핵심만정리
삼각함수 삼총사 sin θ, cos θ, tan θ 외에도 새로운 친구들이 있어요! 바로 그들의 역수 관계에 있는 친구들이죠! 🤝
- 코시컨트 (cosecant, csc θ 또는 cosec θ): 사인의 역수!
csc θ = 1sin θ (단, sin θ ≠ 0) - 시컨트 (secant, sec θ): 코사인의 역수!
sec θ = 1cos θ (단, cos θ ≠ 0) - 코탄젠트 (cotangent, cot θ): 탄젠트의 역수!
cot θ = 1tan θ = cos θsin θ (단, sin θ ≠ 0)
그리고 이 역수 관계를 이용한 중요한 제곱 관계식도 기억해야 해요! (기본 제곱 관계 sin2θ + cos2θ = 1 에서 유도 가능!)
- 1 + tan2θ = sec2θ
- 1 + cot2θ = csc2θ
📚 개념정리
안녕, 삼각함수 마법사 친구들! 🧙♂️ 오늘은 우리가 이미 알고 있는 사인, 코사인, 탄젠트 외에 그들의 역수 관계에 있는 새로운 삼각함수 친구들을 만나보고, 이들 사이의 다양한 성질들을 탐구해 볼 거예요. 이 새로운 친구들을 알면 삼각함수 식을 더 다양하게 변형하고 간단하게 만들 수 있답니다! 😊
삼각함수의 정의를 다시 한번 떠올려 볼까요? 원점 O와 점 P(x, y), 동경 OP의 길이 r, 동경 OP가 나타내는 각 θ에 대하여,
- sin θ = y/r
- cos θ = x/r
- tan θ = y/x
새로운 삼각함수 친구들: 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트! 🌟
각각 사인, 코사인, 탄젠트의 역수를 나타내는 새로운 삼각함수들이에요.
-
코시컨트 θ (cosecant θ, 기호: csc θ 또는 cosec θ):
csc θ = 1sin θ = ry (단, y ≠ 0, 즉 sin θ ≠ 0) -
시컨트 θ (secant θ, 기호: sec θ):
sec θ = 1cos θ = rx (단, x ≠ 0, 즉 cos θ ≠ 0) -
코탄젠트 θ (cotangent θ, 기호: cot θ):
cot θ = 1tan θ = xy (단, y ≠ 0, 즉 sin θ ≠ 0).
또한, tan θ = sin θ / cos θ 이므로, cot θ = cos θsin θ 와도 같아요!
삼각함수 사이의 제곱 관계 확장! 🏗️
우리가 가장 중요하게 외웠던 제곱 관계식 sin2θ + cos2θ = 1 기억나죠? 이 식의 양변을 각각 cos2θ 와 sin2θ 로 나누면 새로운 제곱 관계식들을 얻을 수 있어요!
- 1 + tan2θ = sec2θ
sin2θ + cos2θ = 1의 양변을 cos2θ로 나누면 (cos θ ≠ 0일 때),
sin2θcos2θ + cos2θcos2θ = 1cos2θ
(sin θcos θ)2 + 1 = (1cos θ)2
따라서 tan2θ + 1 = sec2θ 라는 멋진 식이 탄생해요! - 1 + cot2θ = csc2θ
이번에는 sin2θ + cos2θ = 1의 양변을 sin2θ로 나누면 (sin θ ≠ 0일 때),
sin2θsin2θ + cos2θsin2θ = 1sin2θ
1 + (cos θsin θ)2 = (1sin θ)2
따라서 1 + cot2θ = csc2θ 라는 또 다른 유용한 식이 나온답니다!
이 관계식들은 삼각함수가 포함된 식을 간단히 하거나, 하나의 삼각함수 값을 알 때 다른 삼각함수 값을 구하는 데 아주 유용하게 사용돼요!
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 값을 구하시오.
(1) sin θ = -3/5일 때, csc θ의 값 (단, θ는 제3사분면의 각)
(2) tan θ = 2일 때, sec2θ의 값
💡 풀이 1:
(1) sin θ = -3/5일 때, csc θ의 값
csc θ = 1 / sin θ 이므로,
csc θ = 1-3/5 = -5/3 입니다.
(θ가 제3사분면의 각이면 sin θ는 음수이고, 따라서 csc θ도 음수가 되는 것이 맞네요!)
(2) tan θ = 2일 때, sec2θ의 값
제곱 관계식 1 + tan2θ = sec2θ를 이용해요!
sec2θ = 1 + (2)2 = 1 + 4 = 5 입니다.
✏️ 문제 2: 식 (1 – sin2θ) sec2θ를 간단히 하시오.
💡 풀이 2:
우리가 아는 관계식들을 이용해 봅시다!
먼저 sin2θ + cos2θ = 1에서 1 – sin2θ = cos2θ 이죠.
그리고 sec2θ = (1/cos θ)2 = 1/cos2θ 입니다.
따라서 주어진 식은,
(cos2θ) × (1/cos2θ)
cos2θ가 약분되므로, 답은 1 입니다! 😄
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💡 참고
삼각함수의 역수 관계와 제곱 관계식들은 마치 퍼즐 조각처럼 서로 연결되어 있어요! 🧩
예를 들어, tan θ + cot θ를 간단히 하라는 문제가 나온다면,
tan θ = sin θ / cos θ 이고 cot θ = cos θ / sin θ 이므로,
= sin θcos θ + cos θsin θ = sin2θ + cos2θsin θ cos θ
분자가 sin2θ + cos2θ = 1이 되니까, 1 / (sin θ cos θ) 와 같이 간단히 할 수 있죠! 더 나아가면 csc θ sec θ 로도 표현 가능하고요.
이처럼 다양한 관계식들을 알고 있으면 복잡한 삼각함수 식을 변형하고 계산하는 데 아주 큰 도움이 된답니다. 어떤 성질을 언제 사용해야 할지 파악하는 능력을 기르기 위해 많은 문제를 풀어보는 것이 중요해요! 💪