⭐ 핵심만정리

마지막 삼각함수 그래프, 탄젠트함수 y = tan x의 특징을 알아봐요! 사인, 코사인과는 또 다른 독특한 매력이 있답니다! 🧐

• 정의역: x ≠ nπ + π/2 (n은 정수)인 모든 실수예요. (즉, cos x = 0이 되는 지점은 제외!)
• 치역: y값은 어떤 실수든 가능해요! 즉, 실수 전체의 집합. (최댓값, 최솟값 없음!)
• 주기: 똑같은 모양이 π (또는 180°) 마다 반복돼요! 즉, 주기가 π인 주기함수예요. (tan(x + nπ) = tan x, n은 정수) (사인, 코사인보다 주기가 짧아요!)
• 대칭성: 그래프가 원점에 대하여 대칭이에요 (기함수). (tan(-x) = -tan x)
• 점근선: 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 직선, 바로 x = nπ + π/2 (n은 정수) 들이에요. 이 점근선을 기준으로 그래프가 반복된답니다!

탄젠트함수 그래프는 점근선을 따라 위아래로 쭉 뻗어 나가는 S자 모양의 곡선이 반복되는 형태예요! 🐍

📚 개념정리

안녕, 그래프 탐험의 마지막 여정에 온 친구들! 🚀 오늘은 삼각함수 삼총사의 마지막 주자, ‘탄젠트함수’ y = tan x 에 대해 알아볼 거예요. 탄젠트함수는 사인, 코사인함수와는 또 다른 아주 독특하고 개성 넘치는 그래프 모양을 가지고 있답니다! 함께 그 매력을 탐구해 봅시다! 😊

탄젠트함수 그래프는 어떻게 생겼을까? 🎨

탄젠트함수 y = tan x의 그래프도 각 x (라디안 값!)에 대한 tan x 값을 좌표평면에 점으로 찍어서 연결하면 돼요.
단위 원(반지름이 1인 원) 위의 점 P(x, y)에 대해 tan θ = y/x 라고 했던 것 기억나죠? (단, x ≠ 0)

여기서 중요한 점! x=0일 때, 즉 동경 OP가 y축 위에 있을 때 (예: θ = π/2, 3π/2, …)는 분모가 0이 되므로 tan θ 값은 정의되지 않아요. 이 지점들이 바로 탄젠트함수 그래프의 ‘점근선’이 된답니다!

각 x가 -π/2에서 π/2까지 변할 때 (한 주기), tan x 값은 다음과 같이 변해요.

• x가 -π/2에 오른쪽에서 가까워지면 (x → (-π/2)⁺), tan x → -∞ (음의 무한대로!)
• x=0일 때 tan 0 = 0 (원점을 지나요!)
• x=π/4 (45°)일 때 tan(π/4) = 1
• x가 π/2에 왼쪽에서 가까워지면 (x → (π/2)^–), tan x → +∞ (양의 무한대로!)

이 점들을 부드럽게 연결하면, 원점을 지나고 점근선 x = -π/2와 x = π/2 사이에서 위아래로 쭉 뻗어 나가는 S자 모양의 곡선이 나타나요. 그리고 이 모양이 주기 π마다 반복된답니다!

탄젠트함수 y = tan x의 중요한 성질들! 📜

1. 정의역은 x ≠ nπ + π/2 (n은 정수)인 모든 실수예요.
   점근선이 되는 지점들에서는 함숫값이 정의되지 않아요.
2. 치역은 실수 전체의 집합이에요.
   그래프가 위아래로 한없이 뻗어 나가므로, y값은 어떤 실수든 가질 수 있어요. (최댓값, 최솟값은 없답니다!)
3. 주기가 π인 주기함수예요.
   사인, 코사인함수의 주기는 2π였지만, 탄젠트함수의 주기는 π (180°)로 더 짧아요! 즉, tan(x + nπ) = tan x (단, n은 정수) 와 같아요.
4. 원점에 대하여 대칭인 그래프예요 (기함수).
   그래프를 원점을 중심으로 180° 회전시키면 원래 그래프와 똑같이 겹쳐져요! 이것은 tan(-x) = -tan x 라는 성질로 나타낼 수 있답니다. (사인함수와 같아요!)
5. 점근선은 직선 x = nπ + π/2 (n은 정수) 들이에요.
   이 직선들에 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는답니다.

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✅ 개념확인

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💡 참고