275 삼각함수 정의 🌐: 좌표평면에서 각을 다루는 새로운 방법!
⭐ 핵심만정리
직각삼각형에서만 다루던 삼각비를 이제 좌표평면으로 확장시켜 ‘삼각함수’로 정의해요! 😮
- 설정: 좌표평면의 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점 P(x, y)를 생각해요. 이때 x축의 양의 부분을 시초선으로 하고, 반직선 OP를 동경으로 하는 일반각을 θ라고 할 때,
- 삼각함수의 정의:
- 사인 θ (sin θ) = yr (동경의 y좌표 / 동경의 길이)
- 코사인 θ (cos θ) = xr (동경의 x좌표 / 동경의 길이)
- 탄젠트 θ (tan θ) = yx (단, x ≠ 0) (동경의 y좌표 / 동경의 x좌표)
이 새로운 정의 덕분에 예각뿐만 아니라 90°보다 큰 각, 심지어 음수 각에 대해서도 사인, 코사인, 탄젠트 값을 생각할 수 있게 된답니다! 이것들을 θ에 대한 삼각함수라고 불러요. 🥳
📚 개념정리
안녕, 삼각비 마스터 친구들! 👋 지난 시간에는 직각삼각형 안에서 삼각비를 정의했었죠? (sin, cos, tan). 하지만 삼각비는 0°부터 90°까지의 예각에 대해서만 주로 다루었어요. 오늘은 이 삼각비의 개념을 좌표평면으로 확장시켜서, 어떤 크기의 각이든 (심지어 360°를 넘거나 음수인 각까지도!) 사인, 코사인, 탄젠트 값을 정의할 수 있는 ‘삼각함수’의 세계로 떠나볼 거예요! 🚀
좌표평면 위에 각을 올려놓자! 📍
삼각함수를 정의하기 위해 먼저 좌표평면 위에 각을 표현해 볼게요.
- 원점 O(0,0)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 r인 원을 그려요.
- x축의 양의 방향을 시초선으로 잡아요.
- 원 위의 임의의 한 점을 P(x, y)라고 하고, 반직선 OP를 동경이라고 해요.
- 이 동경 OP가 시초선 OX로부터 회전한 각의 크기를 일반각 θ라고 할게요. (양의 방향, 음의 방향 모두 가능!)
점 P(x,y)와 동경 OP,
시초선 OX와 각 θ 표시
새로운 삼각함수의 정의: x, y, r을 이용한 약속! 📜
이제 위에서 설정한 좌표평면 위의 점 P(x, y)와 원점으로부터 점 P까지의 거리 r (r = √(x2+y2) > 0)을 이용해서 각 θ에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 함수를 다음과 같이 새롭게 정의해요!
- sin θ = yr (동경의 y좌표를 동경의 길이로 나눈 값)
- cos θ = xr (동경의 x좌표를 동경의 길이로 나눈 값)
- tan θ = yx (단, x ≠ 0. 동경의 y좌표를 x좌표로 나눈 값)
이렇게 정의된 함수들을 차례로 θ의 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고, 이들을 통틀어 θ에 대한 삼각함수라고 불러요.
신기한 점은, 동경 OP의 길이 r의 값에 관계없이 각 θ의 크기만 정해지면 y/r, x/r, y/x (x≠0)의 값은 각각 하나씩 결정된다는 거예요. 그래서 이것들이 θ에 대한 함수가 될 수 있는 거랍니다!
✨ 예시: 삼각함수 값 구하기
원점 O와 점 P(-4, 3)에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 θ라고 할 때, sin θ, cos θ, tan θ의 값을 구해봅시다. (숫자 변경: 원본은 P(-12,5))
먼저 동경 OP의 길이 r을 구해야 해요. x = -4, y = 3이므로,
r = √((-4)2 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
이제 삼각함수의 정의에 따라 값을 구하면:
- sin θ = y/r = 3/5
- cos θ = x/r = -4/5
- tan θ = y/x = 3/(-4) = -3/4
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 원점 O와 점 P(5, -12)에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 θ라고 할 때, sin θ, cos θ, tan θ의 값을 구하시오.
💡 풀이:
먼저 동경 OP의 길이 r을 구해야겠죠? 점 P의 좌표가 (x, y) = (5, -12)이므로,
r = √(52 + (-12)2) = √(25 + 144) = √169
13 × 13 = 169이므로, r = 13 입니다.
이제 삼각함수의 정의를 이용하여 값을 구해봅시다!
- sin θ = y/r = (-12)/13 = -12/13
- cos θ = x/r = 5/13
- tan θ = y/x = (-12)/5 = -12/5
따라서 sin θ = -12/13, cos θ = 5/13, tan θ = -12/5 입니다! 😄
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💡 참고
삼각함수를 새롭게 정의하면서 중요한 점! 🧐
- 정의역의 확장: sin θ와 cos θ는 모든 실수 θ에 대하여 정의돼요. 하지만 tan θ = y/x는 분모인 x가 0이 되면 안 되기 때문에, 동경 OP가 y축 위에 있을 때 (즉, θ = nπ + π/2, 여기서 n은 정수, 호도법 표현)는 정의되지 않는답니다!
- 삼각비와의 관계: 만약 θ가 예각(0° < θ < 90°)이고 점 P가 제1사분면에 있다면, 원점 O, 점 P, 그리고 P에서 x축에 내린 수선의 발 H를 연결하면 직각삼각형 OPH가 만들어져요. 이때의 삼각함수 값은 우리가 알던 직각삼각형에서의 삼각비 값과 똑같답니다! (빗변=r, 밑변=x, 높이=y) 즉, 삼각함수는 삼각비의 개념을 모든 각으로 확장한 것이라고 생각할 수 있어요!
이렇게 좌표평면을 이용해서 삼각함수를 정의하면, 각이 어떤 사분면에 있느냐에 따라 sin, cos, tan 값의 부호가 달라지게 돼요. 이 부호의 규칙은 다음 시간에 자세히 알아볼 거예요! 😉