⭐ 핵심만정리

부채꼴의 호의 길이와 넓이, 이제 라디안으로 아주 간단하게 구할 수 있어요! 🥧 (단, 중심각 θ는 반드시 라디안 단위여야 해요!)

• 용어 정리:
  • 반지름의 길이: r
  • 중심각의 크기 (라디안): θ
  • 호의 길이: l
  • 넓이: S
• 호의 길이 공식: l = rθ
• 넓이 공식 (두 가지!):
  • S = (1/2)r²θ (반지름과 중심각을 알 때)
  • S = (1/2)rl (반지름과 호의 길이를 알 때)

중심각이 육십분법(도, °)으로 주어졌다면, 반드시 라디안으로 바꿔서 공식에 대입해야 한다는 점! 잊지 마세요! 😉

📚 개념정리

안녕, 도형 마스터 친구들! 📐 오늘은 피자 조각처럼 생긴 부채꼴의 둘레 중 곡선 부분인 ‘호의 길이’와 부채꼴 전체의 ‘넓이’를 구하는 아주 쉽고 유용한 공식을 배워볼 거예요. 특히, 우리가 지난 시간에 배운 ‘호도법(라디안)’을 사용하면 이 공식들이 마법처럼 간단해진답니다! 😊

반지름의 길이가 r이고, 중심각의 크기가 θ (주의! 여기서 θ는 반드시 라디안 단위여야 해요!)인 부채꼴이 있다고 상상해 보세요.

1. 부채꼴의 호의 길이 (l) 구하기: l = rθ

부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례해요. 전체 원의 둘레는 2πr이고, 이때 중심각은 2π 라디안(360°)이죠.
따라서 다음과 같은 비례식을 세울 수 있어요:

(부채꼴 호의 길이 l) : (원 전체 둘레 2πr) = (부채꼴 중심각 θ) : (원 전체 중심각 2π)

l : 2πr = θ : 2π

이 비례식을 풀면, l × 2π = 2πr × θ 이고, 양변을 2π로 나누면 짜잔!

l = rθ

정말 간단하죠? 반지름에 중심각(라디안)을 곱하기만 하면 호의 길이가 나온답니다!

2. 부채꼴의 넓이 (S) 구하기: 두 가지 마법 공식! ✨

부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례해요. 전체 원의 넓이는 πr²이고, 이때 중심각은 2π 라디안이죠.

(부채꼴 넓이 S) : (원 전체 넓이 πr²) = (부채꼴 중심각 θ) : (원 전체 중심각 2π)

S : πr² = θ : 2π

이 비례식을 풀면, S × 2π = πr² × θ 이고, 양변을 2π로 나누면,

S = (1/2)r²θ

이것이 첫 번째 넓이 공식이에요! 반지름과 중심각(라디안)을 알 때 사용하면 편리하죠.

그런데 위에서 l = rθ라고 배웠죠? 이 식을 θ = l/r로 바꿔서 첫 번째 넓이 공식에 대입해 볼까요?

S = (1/2)r²θ = (1/2)r²(l/r) = (1/2)rl

와! 또 다른 넓이 공식이 나왔네요!

S = (1/2)rl

이 공식은 반지름과 호의 길이를 알 때 사용하면 아주 편리하답니다! 마치 삼각형 넓이 구하는 공식((1/2) × 밑변 × 높이)과 비슷하게 생겼죠?

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✅ 개념확인

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💡 참고