270 두 동경의 위치 관계 🤝: 각도 계산의 숨은 규칙!
⭐ 핵심만정리
두 동경 OP, OQ가 나타내는 각을 각각 α, β라고 할 때, 두 동경의 위치 관계에 따라 α와 β 사이에는 특별한 규칙이 숨어있어요! (단, n은 정수)
- ① 두 동경이 일치할 때: α – β = 360° × n
- ② 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 때: α – β = 360° × n + 180°
- ③ 두 동경이 x축에 대하여 대칭일 때: α + β = 360° × n
- ④ 두 동경이 y축에 대하여 대칭일 때: α + β = 360° × n + 180°
- ⑤ 두 동경이 직선 y=x에 대하여 대칭일 때: α + β = 360° × n + 90°
이 규칙들을 그림으로 이해하면 훨씬 쉽답니다! 각 상황을 머릿속으로 그려보세요! 😉
📚 개념정리
안녕, 각도 탐험가 친구들! 🧭 오늘은 두 개의 동경이 특별한 위치 관계를 가질 때, 그 동경들이 나타내는 각들 사이에는 어떤 재미있는 규칙이 숨어있는지 알아볼 거예요. 마치 두 친구가 특정 장소에서 만나거나, 서로 마주 보거나, 등을 돌리고 서 있는 상황과 비슷하답니다! 😊
두 동경 OP와 OQ가 나타내는 각을 각각 일반각으로 α = 360° × n1 + α1, β = 360° × n2 + β1 (0° ≤ α1 < 360°, 0° ≤ β1 < 360°) 라고 할 때, 두 동경의 위치 관계에 따른 규칙을 살펴봅시다. (여기서 n은 n1 – n2 또는 n1 + n2 등을 나타내는 임의의 정수예요!)
1. 두 동경이 일치할 때 겹쳐 보이네!
두 동경 OP와 OQ가 완전히 겹쳐져서 하나처럼 보일 때예요. 이 경우 두 동경이 나타내는 각의 차이는 360°의 정수 배가 되겠죠? (몇 바퀴 차이만 날 테니까요!)
그래서 α – β = 360° × n 이라는 관계가 성립해요.
2. 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 때 마주 보네!
두 동경 OP와 OQ가 원점을 중심으로 서로 반대 방향을 가리키며 일직선을 이룰 때예요. 이 경우 두 동경이 나타내는 각의 차이는 180°만큼 나고, 추가로 360°의 정수 배만큼 차이가 날 수 있어요.
그래서 α – β = 360° × n + 180° 이라는 관계가 성립한답니다.
3. 두 동경이 x축에 대하여 대칭일 때 ↔️
두 동경 OP와 OQ가 x축을 기준으로 서로 데칼코마니처럼 대칭인 경우예요. 이 경우, 두 동경이 나타내는 각을 더하면 0°(또는 360°)가 되고, 여기에 360°의 정수 배만큼의 차이를 고려할 수 있어요.
그래서 α + β = 360° × n 이라는 관계가 성립해요. (왜냐하면 α1 + β1 = 360° 또는 α1 = -β1 형태가 되기 때문이죠!)
4. 두 동경이 y축에 대하여 대칭일 때 ↕️
이번에는 두 동경 OP와 OQ가 y축을 기준으로 서로 대칭인 경우예요. 이 경우, 두 동경이 나타내는 각을 더하면 180°가 되고, 여기에 360°의 정수 배만큼의 차이를 고려해요.
그래서 α + β = 360° × n + 180° 이라는 관계가 성립한답니다. (왜냐하면 그림을 그려보면 α1과 β1의 합이 180°가 되는 것을 알 수 있거든요!)
5. 두 동경이 직선 y=x에 대하여 대칭일 때 📐
마지막으로, 두 동경 OP와 OQ가 기울기가 1인 직선 y=x에 대하여 서로 대칭인 경우예요. 이 경우, 두 동경이 나타내는 각을 더하면 90°가 되고, 여기에 360°의 정수 배만큼의 차이를 고려할 수 있어요.
그래서 α + β = 360° × n + 90° 이라는 관계가 성립해요. (그림을 그려보면 α1과 β1의 합이 90°가 되는 것을 알 수 있답니다!)
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 각 θ를 나타내는 동경과 각 5θ를 나타내는 동경이 x축에 대하여 대칭일 때, 각 θ의 크기를 모두 구하시오. (단, 0° < θ < 180°)
💡 풀이:
두 동경이 x축에 대하여 대칭이면, 두 각의 합이 360° × n (n은 정수) 꼴이 된다고 했죠?
따라서 θ + 5θ = 360° × n 이 성립해요.
6θ = 360° × n
양변을 6으로 나누면, θ = 60° × n 입니다.
이제 주어진 θ의 범위 0° < θ < 180°를 만족하는 정수 n을 찾아야 해요.
- n = 1일 때: θ = 60° × 1 = 60° (범위 만족!)
- n = 2일 때: θ = 60° × 2 = 120° (범위 만족!)
- n = 3일 때: θ = 60° × 3 = 180° (범위 불만족! θ < 180°여야 해요.)
- n = 0일 때: θ = 60° × 0 = 0° (범위 불만족! θ > 0°여야 해요.)
따라서 가능한 θ의 크기는 60°와 120° 입니다! 😄
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💡 참고
두 동경의 위치 관계 문제는 그림을 그려서 이해하는 것이 가장 좋아요! 🎨 각 상황별로 동경을 직접 그려보고, 두 각 α1과 β1 (0° ≤ α1, β1 < 360°) 사이에 어떤 관계가 있는지 (더하면 특정 각도가 되는지, 빼면 특정 각도가 되는지) 관찰해 보세요.
예를 들어, 두 동경이 y축 대칭이면, 한 각이 α1일 때 다른 각은 180° – α1 형태가 되거나, 또는 한 바퀴를 더 고려해서 180° + α1 형태의 반대편 각과 연관 지어 생각할 수도 있어요. 그림을 그려보면 두 각의 합이 180° (또는 180°+360°k) 형태가 된다는 것을 쉽게 파악할 수 있답니다.
각 위치 관계에 따른 공식을 무작정 외우기보다는, 그림을 통해 그 원리를 이해하려고 노력하면 훨씬 오래 기억에 남고 응용하기도 쉬워질 거예요! 😉