⭐ 핵심만정리

로그의 진수 또는 밑에 미지수 x가 숨어있는 부등식, ‘로그부등식’을 푸는 핵심 전략과 절대 잊지 말아야 할 주의사항을 알아봐요! 🧐

• 로그부등식이란? log₂x > 3, log_x8 < 2, (log₃x)² – 2log₃x ≥ 0처럼 로그의 진수 또는 밑에 미지수가 있는 부등식을 말해요.
• 로그부등식 풀이 전략:
  1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: log_af(x) < log_ag(x) 꼴로 만들고, 밑 a의 크기에 따라 진수를 비교해요.
     • a > 1 (증가함수)일 때: 부등호 방향 그대로! 0 < f(x) < g(x) (진수 조건 f(x)>0 포함!)
     • 0 < a < 1 (감소함수)일 때: 부등호 방향 반대로! f(x) > g(x) > 0 (진수 조건 g(x)>0 포함!)
  2. log_ax 꼴이 반복되는 경우: log_ax = t로 치환한 후, t에 대한 부등식을 풀어요.
  3. 지수에 로그가 있는 경우: 양변에 로그를 취하여 로그부등식으로 변형해서 풀어요. (새로운 로그의 밑이 0과 1 사이면 부등호 방향이 바뀜을 주의!)
• 가장 중요한 것!: 어떤 방법으로 풀든, 처음 주어진 로그의 밑 조건과 진수 조건을 반드시 확인하고, 구한 해가 이 조건들을 만족하는지 검토해야 해요!

📚 개념정리

안녕, 부등식 마스터를 꿈꾸는 친구들! 🛡️ 오늘은 로그방정식에 이어, 로그의 진수나 밑에 미지수가 포함된 부등식, 바로 ‘로그부등식’을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 로그방정식과 비슷하지만, 부등호가 있기 때문에 밑의 크기에 따라 부등호 방향이 바뀌는 마법 같은(?) 현상에 주의해야 한답니다! 😊

로그부등식이란 무엇일까요? 🤔

로그부등식은 말 그대로 로그의 진수 또는 밑에 미지수 x를 포함하고 있는 부등식을 말해요. 예를 들면 다음과 같은 식들이 로그부등식이랍니다.

• log₂x > 3
• log_x8 < 3
• (log₃x)² – 2log₃x ≥ 0

로그부등식을 푸는 핵심은 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)의 증가, 감소 성질을 이용하는 거예요!

• 밑 a > 1이면 x값이 증가할 때 y값도 증가해요 (증가함수).
• 밑이 0 < a < 1이면 x값이 증가할 때 y값은 감소해요 (감소함수).

이 성질 때문에 밑을 같게 한 후 진수를 비교할 때 부등호의 방향이 그대로 유지되거나 반대로 바뀌게 된답니다!

로그부등식 풀이 전략! 💡

로그부등식의 형태에 따라 몇 가지 풀이 전략이 있어요.

1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: log_af(x) < log_ag(x) 꼴로 변형!

부등식의 양변의 로그의 밑을 똑같이 만들 수 있다면, 밑 a의 크기에 따라 진수 f(x)와 g(x)의 대소 관계를 비교해요.

가장 먼저! 밑 조건과 진수 조건을 반드시 확인해야 해요! f(x) > 0, g(x) > 0, 그리고 밑 a는 a > 0, a ≠ 1.

• 밑 a > 1일 때 (증가함수):
  log_af(x) < log_ag(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x) (부등호 방향이 그대로 유지돼요! 진수 조건 포함!)
• 밑이 0 < a < 1일 때 (감소함수):
  log_af(x) < log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0 (부등호 방향이 반대로 바뀌어요! 진수 조건 포함! 🚦 주의!)

2. log_ax 꼴이 반복되는 경우: 치환으로 간단하게!

부등식에 log_ax와 같은 형태가 반복해서 나타난다면, log_ax = t로 치환해서 t에 대한 부등식을 풀면 돼요. (여기서 t는 모든 실수가 될 수 있어요.) 구한 t의 범위를 다시 log_ax로 돌려서 x의 범위를 구하면 된답니다. 이때도 진수 조건 x > 0을 잊지 마세요!

3. 지수에 로그가 있는 경우

지수에 로그가 포함된 부등식은 양변에 적절한 밑을 가진 로그를 취하여 로그부등식으로 변형해서 풀어요. 이때, 취하는 로그의 밑이 0과 1 사이이면 부등호의 방향이 바뀐다는 점에 주의해야 해요!

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✅ 개념확인

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💡 참고