265 로그방정식 풀이법 🔑: 밑과 진수 조건을 확인하라!
⭐ 핵심만정리
로그의 진수 또는 밑에 미지수 x가 숨어있는 방정식, ‘로그방정식’을 푸는 다양한 전략과 주의사항을 알아봐요! 🧐
- 로그방정식이란? log2x = 3, logx4 = 2, (log x)2 – log x – 2 = 0처럼 로그의 진수 또는 밑에 미지수가 있는 방정식을 말해요.
- 로그방정식 풀이 전략:
- 밑을 같게 할 수 있는 경우: logaf(x) = logag(x) 꼴로 만들고, f(x) = g(x)를 풀어요! (로그함수도 일대일함수!) 단, f(x) > 0, g(x) > 0 (진수 조건)을 반드시 확인해야 해요!
- logaf(x) = b 꼴인 경우: 로그의 정의 f(x) = ab를 이용하여 풀어요. (이때 f(x)는 자동으로 양수가 되므로 진수 조건은 만족돼요.)
- logax 꼴이 반복되는 경우: logax = t로 치환한 후, t에 대한 방정식을 풀어요.
- 진수가 같은 경우: loga(x)f(x) = logb(x)f(x) 꼴이라면, 밑이 같거나(a(x)=b(x)) 또는 진수가 1 (f(x)=1)임을 이용해요! (밑 조건과 진수 조건도 잊지 마세요!)
- 지수에 로그가 있는 경우: 양변에 로그를 취하여 로그방정식으로 변형해서 풀어요.
- 가장 중요한 것!: 어떤 방법으로 풀든, 구한 해가 처음 주어진 로그의 밑 조건과 진수 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 해요!
📚 개념정리
안녕, 방정식 탐험가 친구들! 🧭 오늘은 로그의 진수나 밑에 미지수 x가 숨어있는 특별한 방정식, 바로 ‘로그방정식’을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 로그의 성질과 로그함수의 특징을 잘 이용하면 이 미스터리한 방정식도 해결할 수 있답니다! 😊
로그방정식이란 무엇일까요? 🤔
로그방정식은 말 그대로 로그의 진수 또는 밑에 미지수 x를 포함하고 있는 방정식을 말해요. 예를 들면 다음과 같은 식들이 로그방정식이랍니다.
- log2x = 3 (진수에 미지수)
- logx16 = 2 (밑에 미지수)
- (log x)2 + log x – 2 = 0 (로그 표현이 반복)
로그방정식을 푸는 핵심은, 로그함수 y = logax (a > 0, a ≠ 1)가 양의 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이라는 성질을 이용하는 거예요. 일대일대응이기 때문에, 만약 logaf(x) = logag(x) 라면 반드시 f(x) = g(x)가 성립한답니다! (단, f(x)>0, g(x)>0 이어야겠죠?) 이것이 로그방정식 풀이의 가장 기본적인 원리예요.
로그방정식 풀이 전략! 💡
로그방정식의 형태에 따라 몇 가지 풀이 전략이 있어요.
1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: logaf(x) = logag(x) 꼴로 변형!
방정식의 양변의 로그의 밑을 똑같이 만들 수 있다면, 진수끼리 같다고 놓고 풀면 돼요.
즉, logaf(x) = logag(x) (단, a > 0, a ≠ 1) 꼴로 변형한 후, f(x) = g(x)를 풀면 된답니다.
가장 중요한 주의사항! 여기서 구한 x값은 반드시 원래 로그의 진수 조건 (f(x) > 0 그리고 g(x) > 0)을 만족해야 해요!
예) 방정식 log2x = log2(2x – 3)을 풀어봅시다. (숫자 변경: 원본은 log₂x = log₂(2x-5))
밑이 2로 같으므로 진수끼리 비교하면 x = 2x – 3. 이걸 풀면 x = 3.
이제 진수 조건을 확인해야 해요!
원래 진수 x > 0 ➡️ 3 > 0 (만족!)
원래 진수 2x – 3 > 0 ➡️ 2(3) – 3 = 6 – 3 = 3 > 0 (만족!)
모두 만족하므로 x = 3은 해가 됩니다.
2. logaf(x) = b 꼴인 경우: 로그의 정의 이용!
이런 형태는 로그의 정의 logaN = x ⇔ ax = N을 이용해서 f(x) = ab 꼴로 바꿔서 풀면 돼요.
이때 ab는 항상 양수이므로, f(x) > 0이라는 진수 조건은 자동으로 만족된답니다!
예) 방정식 log3x = 2를 풀어봅시다.
로그의 정의에 의해 x = 32 = 9 입니다.
3. logax 꼴이 반복되는 경우: 치환으로 간단하게!
방정식에 logax와 같은 형태가 반복해서 나타난다면, logax = t로 치환해서 t에 대한 방정식을 풀면 돼요. (여기서 t는 모든 실수가 될 수 있어요. 로그의 치역은 실수 전체니까요!)
예) 방정식 (log2x)2 + log2x – 2 = 0을 풀어봅시다.
log2x = t로 치환하면, 방정식은 t2 + t – 2 = 0이 됩니다.
이 이차방정식을 풀면 (t+2)(t-1) = 0이므로, t = -2 또는 t = 1이에요.
- log2x = -2 ➡️ x = 2-2 = 1/4
- log2x = 1 ➡️ x = 21 = 2
두 값 모두 진수 조건 x > 0을 만족하므로, 해는 x = 1/4 또는 x = 2 입니다.
4. 진수가 같은 경우: loga(x)f(x) = logb(x)f(x) 꼴
밑은 다른데 진수가 똑같은 형태로 주어진다면, 두 가지 경우를 생각할 수 있어요.
- 밑이 서로 같은 경우: a(x) = b(x)
- 진수가 1인 경우: f(x) = 1 (왜냐하면 log어떤밑1 = 0이니까요! 단, 밑 조건은 만족해야 해요.)
물론 여기서도 각각의 밑 조건과 진수 조건을 모두 확인해야 해요!
5. 지수에 로그가 있는 경우
지수에 로그가 포함된 방정식은 양변에 적절한 밑을 가진 로그를 취하여 로그방정식으로 변형해서 풀어요.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 방정식을 푸시오.
(1) log3(5-x) = 2log9x
(2) log2(x-3) = 4
(3) (log x)2 – 5log x = 0
(4) log2(3x+1) = log4(3x+1)
(문제 일부 변경 및 추가: (1) log₂(6-x)=2log₄x (2) log₃(x-1)=2 (3) (logx)²-3logx=0 (4) log₃(2x+3)=log₅(2x+3))💡 풀이:
(1) log3(5-x) = 2log9x
먼저 진수 조건부터 확인! 5-x > 0 ➡️ x < 5. 그리고 x > 0. 따라서 공통 범위는 0 < x < 5.
우변의 밑을 3으로 바꿔요. log9x = log32x = (1/2)log3x.
그러면 log3(5-x) = 2 × (1/2)log3x = log3x.
밑이 같으므로 진수끼리 비교하면 5-x = x ➡️ 2x = 5 ➡️ x = 5/2.
x = 5/2는 진수 조건 0 < x < 5를 만족하므로 해입니다.
(2) log2(x-3) = 4
진수 조건: x-3 > 0 ➡️ x > 3.
로그의 정의에 의해 x-3 = 24 = 16.
따라서 x = 19. 이 값은 진수 조건 x > 3을 만족하므로 해입니다.
(3) (log x)2 – 5log x = 0
진수 조건: x > 0.
log x = t로 치환하면 t2 – 5t = 0.
t(t-5) = 0 ➡️ t = 0 또는 t = 5.
- log x = 0 ➡️ x = 100 = 1. (진수 조건 만족!)
- log x = 5 ➡️ x = 105 = 100000. (진수 조건 만족!)
따라서 해는 x = 1 또는 x = 100000 입니다.
(4) log2(3x+1) = log4(3x+1)
진수 조건: 3x+1 > 0 ➡️ x > -1/3.
밑 조건: 밑 2와 4는 이미 조건을 만족해요.
우변의 밑을 2로 바꿔요. log4(3x+1) = log22(3x+1) = (1/2)log2(3x+1).
그러면 log2(3x+1) = (1/2)log2(3x+1).
양변에 2를 곱하면 2log2(3x+1) = log2(3x+1).
이항하면 log2(3x+1) = 0.
로그의 정의에 의해 3x+1 = 20 = 1.
3x = 0 ➡️ x = 0.
x = 0은 진수 조건 x > -1/3을 만족하므로 해입니다.
또는, 진수가 같은 경우(logAM = logBM)에는 진수가 1이 되면 등식이 성립하죠.
3x+1 = 1 ➡️ 3x = 0 ➡️ x = 0. 이렇게도 풀 수 있어요!
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💡 참고
로그방정식을 풀 때, 아무리 강조해도 지나치지 않는 것이 바로 밑 조건과 진수 조건을 먼저 확인하고, 구한 해가 이 조건들을 만족하는지 반드시 검토하는 습관이에요! 🚦
특히 밑이나 진수에 미지수 x가 포함된 경우에는 이 과정을 빼먹으면 엉뚱한 답을 얻을 수 있어요. 예를 들어, 계산 과정에서 x=1이라는 해를 얻었는데, 원래 로그의 진수가 x-2였다면 x=1을 대입했을 때 진수가 -1이 되어버리죠? 이런 경우는 해가 될 수 없답니다.
항상 문제를 풀기 전에 밑과 진수의 조건을 먼저 적어두고, 마지막에 답을 검토하는 습관을 들이면 실수를 크게 줄일 수 있을 거예요! 로그의 세계는 약속을 잘 지키는 것이 중요하니까요! 😉