⭐ 핵심만정리

기본 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1) 그래프를 자유자재로 움직여 봐요! 🕺💃

• 평행이동:
  • x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동하면?
    ➡️ y = log_a(x-m) + n (x 대신 x-m, y 대신 y-n 대입!)
• 대칭이동:
  • x축 대칭: y 대신 -y 대입 ➡️ -y = log_ax 즉, y = -log_ax
  • y축 대칭: x 대신 -x 대입 ➡️ y = log_a(-x)
  • 원점 대칭: x 대신 -x, y 대신 -y 대입 ➡️ -y = log_a(-x) 즉, y = -log_a(-x)
  • 직선 y=x 대칭 (역함수!): x 대신 y, y 대신 x 대입 ➡️ x = log_ay 즉, y = a^x (지수함수로 변신!)

이동 규칙만 알면 어떤 로그함수 그래프도 그릴 수 있어요! 점근선과 항상 지나는 점 (1,0)도 함께 이동한다는 사실! 잊지 마세요. 😉

📚 개념정리

안녕, 그래프 마법사 친구들! ✨ 오늘은 기본 로그함수 y = log_ax의 그래프를 평행이동시키거나 대칭이동시켜서 새로운 로그함수 그래프를 만드는 마법을 배워볼 거예요. 지수함수의 이동과 아주 비슷하니 어렵지 않을 거예요! 😊

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 이동시키는 방법은 다음과 같아요.

1. 평행이동: 그래프를 그대로 옮기기! ➡️⬆️

로그함수 y = log_ax의 그래프를

• x축의 방향으로 m만큼 평행이동하면, 식에서 x 대신 (x-m)을 대입해요. ➡️ y = log_a(x-m)
• y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면, 식에서 y 대신 (y-n)을 대입해요. ➡️ y – n = log_ax, 즉 y = log_ax + n

만약 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 동시에 평행이동한다면, 두 가지를 모두 적용해서 x 대신 (x-m)을, y 대신 (y-n)을 대입하면 돼요.

그래서 y – n = log_a(x-m), 즉 y = log_a(x-m) + n 이라는 새로운 로그함수의 식이 탄생한답니다! 이때, 원래 그래프의 점근선이었던 y축(x=0)도 x축 방향으로 m만큼 평행이동하여 새로운 점근선은 x=m이 되고, 항상 지나던 점 (1,0)은 점 (1+m, n)으로 이동해요.

2. 대칭이동: 그래프를 거울에 비추기! зеркало

로그함수 y = log_ax의 그래프를

• x축에 대하여 대칭이동하면, 식에서 y 대신 -y를 대입해요.
  -y = log_ax ➡️ y = -log_ax (또는 y = log_a(1/x) 또는 y = log_1/ax와도 같아요!)
• y축에 대하여 대칭이동하면, 식에서 x 대신 -x를 대입해요.
  y = log_a(-x) (이때 진수 조건에 의해 -x > 0, 즉 x < 0이 정의역이 돼요.)
• 원점에 대하여 대칭이동하면, 식에서 x 대신 -x를, y 대신 -y를 대입해요.
  -y = log_a(-x) ➡️ y = -log_a(-x)
• 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면, x와 y를 바꿔요. 이것은 바로 역함수를 구하는 과정이죠!
  x = log_ay ➡️ 로그의 정의에 의해 a^x = y, 즉 지수함수 y = a^x가 된답니다!

식이 복잡하게 주어진 로그함수도, 예를 들어 y = log₂4(x+1) 같은 식은 y = log₂4 + log₂(x+1) = 2 + log₂(x+1)로 바꿔서 y=log₂x를 평행이동한 것으로 생각할 수 있어요!

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✅ 개념확인

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💡 참고