⭐ 핵심만정리

기본 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 그래프를 자유자재로 움직여 봐요! 🕺💃

• 평행이동:
  • x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동하면?
    ➡️ y = a^x-m + n (x 대신 x-m, y 대신 y-n 대입!)
• 대칭이동:
  • x축 대칭: y 대신 -y 대입 ➡️ -y = a^x 즉, y = -a^x
  • y축 대칭: x 대신 -x 대입 ➡️ y = a^-x 즉, y = (1/a)^x
  • 원점 대칭: x 대신 -x, y 대신 -y 대입 ➡️ -y = a^-x 즉, y = -(1/a)^x

이동 규칙만 알면 어떤 지수함수 그래프도 그릴 수 있어요! 점근선과 항상 지나는 점 (0,1)도 함께 이동한다는 사실! 잊지 마세요. 😉

📚 개념정리

안녕, 그래프 마술사 친구들! ✨ 오늘은 기본 지수함수 y = a^x의 그래프를 평행이동시키거나 대칭이동시켜서 새로운 지수함수 그래프를 만드는 마법을 배워볼 거예요. 도형의 이동 원리를 알면 지수함수 그래프도 쉽게 변신시킬 수 있답니다! 😊

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 이동시키는 방법은 다음과 같아요.

1. 평행이동: 그래프를 그대로 옮기기! ➡️⬆️

지수함수 y = a^x의 그래프를

• x축의 방향으로 m만큼 평행이동하면, 식에서 x 대신 (x-m)을 대입해요. ➡️ y = a^x-m
• y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면, 식에서 y 대신 (y-n)을 대입해요. ➡️ y – n = a^x, 즉 y = a^x + n

만약 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 동시에 평행이동한다면, 두 가지를 모두 적용해서 x 대신 (x-m)을, y 대신 (y-n)을 대입하면 돼요.

그래서 y – n = a^x-m, 즉 y = a^x-m + n 이라는 새로운 지수함수의 식이 탄생한답니다! 이때, 원래 그래프의 점근선이었던 x축(y=0)도 y축 방향으로 n만큼 평행이동하여 새로운 점근선은 y=n이 되고, 항상 지나던 점 (0,1)은 점 (m, 1+n)으로 이동해요.

2. 대칭이동: 그래프를 거울에 비추기! зеркало

지수함수 y = a^x의 그래프를

• x축에 대하여 대칭이동하면, 식에서 y 대신 -y를 대입해요.
  -y = a^x ➡️ y = -a^x
• y축에 대하여 대칭이동하면, 식에서 x 대신 -x를 대입해요.
  y = a^-x ➡️ y = (a^-1)^x = (1/a)^x
• 원점에 대하여 대칭이동하면, 식에서 x 대신 -x를, y 대신 -y를 대입해요.
  -y = a^-x ➡️ y = -a^-x = -(1/a)^x

식이 복잡하게 주어진 지수함수의 그래프도, 이런 평행이동이나 대칭이동을 이용해서 그릴 수 있어요! 예를 들어 y = 3 \cdot 2^x + 1 같은 식은 y = 2^log₂3 \cdot 2^x + 1 = 2^{x + log₂3} + 1로 바꿔서 y=2^x를 평행이동한 것으로 생각할 수 있답니다. (조금 어렵나요? 이런 변형은 나중에 더 익숙해질 거예요!)

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✅ 개념확인

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💡 참고