쎈 공통수학1 629번 📐 삼변수 완전제곱식으로 최솟값 구하기
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 x, y, z 각각 완전제곱식 변환 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 계수 2, 3이 있는 완전제곱식 변환에서 상수 보정 핵심 분석
- 📊 세 변수 카드: x 파트 / y 파트 / z 파트 분리 정리
- ⚠️ 2(y-1)²-2, 3(z+1)²-3에서 계수×보정값 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! 세 변수를 각각 독립적으로 완전제곱식으로 변환하면 됩니다.
x, y, z가 각각 독립적으로 0을 달성할 수 있으므로 최솟값이 존재합니다!
🔢⊕🔢⊕🔢
삼변수 완전제곱식 황금 공식:
A(x-p)² + B(y-q)² + C(z-r)² + k 에서 (A,B,C>0) → 최솟값 = k
삼변수 완전제곱식 황금 공식:
A(x-p)² + B(y-q)² + C(z-r)² + k 에서 (A,B,C>0) → 최솟값 = k
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
x, y, z가 실수일 때 \(x^2+2y^2+3z^2+4x-4y+6z-4\)의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- x항, y항, z항을 각각 완전제곱식으로 분리
- 세 완전제곱식 ≥ 0이므로 동시에 0이 될 때 최솟값
- 계수 2, 3이 있으므로 상수 보정에 주의!
🔵 x 파트
\(x^2+4x\)
\(=(x+2)^2-4\)
\(x^2+4x\)
\(=(x+2)^2-4\)
🔴 y 파트
\(2y^2-4y\)
\(=2(y-1)^2-2\)
\(2y^2-4y\)
\(=2(y-1)^2-2\)
🟢 z 파트
\(3z^2+6z\)
\(=3(z+1)^2-3\)
\(3z^2+6z\)
\(=3(z+1)^2-3\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(2y^2-4y = 2(y^2-2y) = 2\{(y-1)^2-1\} = 2(y-1)^2-?\) 상수는?
힌트 2. \(3z^2+6z = 3(z^2+2z) = 3\{(z+1)^2-1\} = 3(z+1)^2-?\) 상수는?
힌트 3. 모두 합산 후 상수 항만 정리: \(-4+(-2)+(-3)+(-4)=?\)
🧠 핵심 풀이
1 각 변수별 완전제곱식 변환
\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)
\(2y^2-4y=2(y-1)^2-2\) ← 2×1=2 보정
\(3z^2+6z=3(z+1)^2-3\) ← 3×1=3 보정
\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)
\(2y^2-4y=2(y-1)^2-2\) ← 2×1=2 보정
\(3z^2+6z=3(z+1)^2-3\) ← 3×1=3 보정
2 전체 식 결합
\((x+2)^2-4+2(y-1)^2-2+3(z+1)^2-3-4\)
\(=(x+2)^2+2(y-1)^2+3(z+1)^2+(-4-2-3-4)\)
\(=(x+2)^2+2(y-1)^2+3(z+1)^2-13\)
\((x+2)^2-4+2(y-1)^2-2+3(z+1)^2-3-4\)
\(=(x+2)^2+2(y-1)^2+3(z+1)^2+(-4-2-3-4)\)
\(=(x+2)^2+2(y-1)^2+3(z+1)^2-13\)
3 최솟값 결정
세 항 모두 ≥ 0 → x=-2, y=1, z=-1에서 동시에 0
최솟값 = \(\boxed{-13} \quad 🎯\)
세 항 모두 ≥ 0 → x=-2, y=1, z=-1에서 동시에 0
최솟값 = \(\boxed{-13} \quad 🎯\)
🔵⊕🔴⊕🟢→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: \(2y^2-4y=2(y-1)^2-1\)로 계산 → 2×1=2이므로 보정 상수는 -2!
❌ 실수 2: \(3z^2+6z=3(z+1)^2-1\)로 계산 → 3×1=3이므로 보정 상수는 -3!
❌ 실수 3: 상수항 합산 실수: -4(x파트)+(-2)(y파트)+(-3)(z파트)+(-4)(상수) = -13
📌 외워두면 득점하는 패턴
계수 a가 있는 완전제곱식 보정 공식
- \(a(x+\frac{b}{2a})^2 – \frac{b^2}{4a}\)
- 예: \(2(y-1)^2-\mathbf{2}\), \(3(z+1)^2-\mathbf{3}\)
- 보정값 = 계수 × (완전제곱 내 상수)²
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분 30초
→ 세 변수 각각 변환 → 상수 합산 → 최솟값
📝 수능 시험: 목표 1분 30초
→ 계수 보정 암산 처리로 속도 향상!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 삼변수 완전제곱식 최솟값 심화 마플시너지 공수1 | 계수가 있는 완전제곱식 변환 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 17번 → 완전제곱식 변환 기초
- 627번 포스트 → 이변수 최솟값 복습
- 마플시너지 → 삼변수 최솟값 심화