쎈 공통수학1 623번 📐 공통부분 치환으로 최솟값 구하기 (t≥−4)
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 t=x²+4x 치환 → t≥-4 → 최솟값 -14 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 x 범위 제한이 없을 때 t 범위가 “t≥최솟값” 형태가 되는 원리
- 💡 t의 꼭짓점 t=2가 범위 안에 있어야 최솟값이 꼭짓점에서 발생
- ⚠️ t의 하한이 -4임을 놓치는 가장 흔한 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! x²+4x의 최솟값(꼭짓점 y값)이 t의 하한이 됩니다. 먼저 구해보세요!
📉🔢
x 제한 없는 치환 t의 범위:
t = (이차식)의 최솟값이 t의 하한 → t ≥ (꼭짓점 y좌표)
x 제한 없는 치환 t의 범위:
t = (이차식)의 최솟값이 t의 하한 → t ≥ (꼭짓점 y좌표)
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(y=(x^2+4x)^2-4(x^2+4x)-10\)의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- \(x^2+4x\)가 두 번 반복 → t로 치환
- \(x^2+4x=(x+2)^2-4 \geq -4\) → t≥-4
- y를 t로 표현 → t≥-4에서 최솟값 탐색
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(t=x^2+4x=(x+2)^2-4\) → x 제한 없으므로 t≥-4
힌트 2. \(y=t^2-4t-10=(t-2)^2-14\). 꼭짓점 t=2가 t≥-4 범위 안에 있는지 확인!
힌트 3. t=2 ≥ -4 ✓ → 최솟값은 t=2에서 발생 → y = ?
🧠 핵심 풀이
1 치환 및 t 범위 결정
\(t=x^2+4x=(x+2)^2-4\)
x가 모든 실수 → t의 최솟값 = -4 → \(t \geq -4\)
\(t=x^2+4x=(x+2)^2-4\)
x가 모든 실수 → t의 최솟값 = -4 → \(t \geq -4\)
2 y를 t로 표현 및 최솟값 탐색
\(y=t^2-4t-10=(t-2)^2-14\)
꼭짓점 t=2, t≥-4 범위 안 ✓ → 아래로 볼록 → t=2에서 최솟값
최솟값 = \((2-2)^2-14 = \boxed{-14} \quad 🎯\)
\(y=t^2-4t-10=(t-2)^2-14\)
꼭짓점 t=2, t≥-4 범위 안 ✓ → 아래로 볼록 → t=2에서 최솟값
최솟값 = \((2-2)^2-14 = \boxed{-14} \quad 🎯\)
🔄→📉→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: t의 범위를 t≥0 또는 t는 모든 실수로 설정 → t=x²+4x의 최솟값 -4가 t의 하한!
❌ 실수 2: (t-2)²-14에서 꼭짓점 t=2가 t≥-4 범위 안인지 확인하지 않기
→ 반드시 확인: 2 ≥ -4 ✓ → 꼭짓점에서 최솟값 발생
📌 외워두면 득점하는 패턴
x 범위 없을 때 t 범위: t ≥ (공통부분의 최솟값)
- x 범위가 없으면 → t의 최솟값 = 공통부분 완전제곱식의 상수항
- t의 꼭짓점이 t 범위 안 → 꼭짓점에서 최솟값
- t의 꼭짓점이 t 범위 밖 → 범위 경계에서 최솟값
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분 30초
→ 치환 → t≥-4 확인 → 최솟값 t=2에서 계산
📝 수능 시험: 목표 1분 30초
→ t의 하한 자동 계산 + 꼭짓점 범위 확인 자동화
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | t 하한 설정 + 최솟값 유형 심화 마플시너지 공수1 | 공통부분 치환 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 46번 → 치환 기초
- 622번 포스트 → 제한 범위 치환 유형 복습
- 마플시너지 → t 범위 심화