쎈 공통수학1 610번 📐 두 이차함수의 공통 접선
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 첫 번째 D=0으로 접선 결정 → 두 번째 D=0으로 k 결정하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 공통접선 풀이의 2단계 구조: D₁=0 → 접선 확정 → D₂=0
- 💡 완전제곱식으로 전개해서 D₂ 계산하는 스마트한 방법
- ⚠️ 두 번째 이차함수에서 D 계산 시 발생하는 전개 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! 이 문제는 2번의 D=0을 사용합니다.
첫 번째 D=0으로 접선을 완전히 결정하고, 두 번째 D=0으로 k를 구하는 흐름을 따라가보세요!
공통접선의 2단계 전략:
D₁=0 → 접선의 식 확정 → D₂=0 → 미지수(k) 결정
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y=2x^2\)에 접하고 기울기가 4인 직선이 이차함수 \(y=-x^2-kx-k-5\)의 그래프에도 접할 때, 실수 k의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 1단계: 기울기 4, y=2x²에 접하는 직선 → D₁=0으로 y절편 결정
- 2단계: 결정된 직선이 y=−x²−kx−k−5에 접함 → D₂=0으로 k 결정
이 문제는 D=0을 두 번 사용합니다:
첫 번째: y=2x²에 접하는 기울기 4의 직선 → y절편 결정
두 번째: 그 직선이 y=−x²−kx−k−5에 접함 → k 결정
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. y=4x+a로 놓고 2x²=4x+a를 정리 → D₁/4=4−2(−a)=4+2a=0 → a=?
힌트 2. 구한 접선을 두 번째 이차함수에 대입: \(-x^2-kx-k-5=4x+a\) 정리
힌트 3. D₂=\((k+4)^2-4(k+3+a)=0\) → a값 대입 → k 계산
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
접선: \(y=4x+a\)
\(2x^2 = 4x+a\) → \(2x^2-4x-a=0\)
$$\frac{D_1}{4}=4-2(-a)=4+2a=0 \quad \Rightarrow \quad a=-2$$ 접선: \(y=4x-2\) ✅
\(-x^2-kx-k-5 = 4x-2\) 정리 → \(x^2+(k+4)x+k+3=0\)
$$D_2=(k+4)^2-4(k+3)=k^2+8k+16-4k-12=k^2+4k+4=(k+2)^2=0$$ $$\therefore k=-2 \quad \boxed{-2} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: D₁ 계산 시 \(2x^2-4x-a=0\)의 D/4 = \(4-2\cdot(-a)\)에서 최고차계수 2를 c항에 곱해야 함
→ D/4 = b/2²−ac → 여기서 a(=계수)=2, c=−a(=접선y절편에 −)
❌ 실수 2: 두 번째 이차방정식 정리 시 \(-x^2-kx-k-5=4x-2\)를 이항할 때 부호 실수
→ 양변에 -1을 곱해서 \(x^2+(k+4)x+k+3=0\) 확인!
❌ 실수 3: \((k+4)^2-4(k+3)=(k+2)^2\)임을 전개해서 확인하지 않고 계산 실수
📌 외워두면 득점하는 패턴
공통접선 풀이 패턴
- Step 1: 한 이차함수 + 기울기 주어진 접선 → D₁=0 → 접선 완전 결정
- Step 2: 결정된 접선을 다른 이차함수에 연립 → D₂=0 → 미지수 결정
- D₂가 완전제곱식으로 정리되면 빠르게 풀 수 있음 (\((k+2)^2=0\) 형태)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ D₁=0 → 접선 확정 → D₂=0 → k. 각 단계마다 식 정리를 깔끔하게!
📝 수능 시험: 목표 2분
→ 2번의 D=0을 빠르게 처리하고 완전제곱식 전개로 k를 즉시 도출
💡 속도 향상: D₂ 전개 후 완전제곱식 형태 인식 훈련!
📸 출판사 공식 해설
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✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 두 이차함수의 공통 접선 유형 마플시너지 공수1 | D=0 두 번 활용 복합 문제- 연산 워크시트 34번 → 접선 조건 기초 반복
- 607번 포스트 → 접선 1단계 유형 먼저 완벽히 익히기
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