쎈 공통수학1 609번 📐 외부 점에서 이차함수에 접하는 두 직선
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 외부점 접선 설정법 + 근과 계수의 관계 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 외부 점 통과 접선 → \(y=a(x-x_0)+y_0\)로 설정하는 핵심 아이디어
- 🧠 D=0으로 나온 이차방정식에서 기울기의 곱 = 근의 곱
- ⚠️ 직선 설정을 y=ax+b로 하면 조건이 2개 필요해 막히는 이유
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심 아이디어: 점 \((-3,1)\)을 지나는 직선 → \(y=a(x+3)+1\)로 설정!
이렇게 하면 기울기 a 하나만 미지수로 남습니다. 📱 충전기 연결 후 도전!
외부 점 접선의 황금 설정법:
점 \((p, q)\)를 지나는 직선 → \(y = a(x-p) + q\)
기울기 a 하나만 남겨서 D=0 적용!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
점 \((-3, 1)\)을 지나고 이차함수 \(y=-x^2+2x+5\)의 그래프에 접하는 두 직선의 기울기의 곱을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 점 (-3, 1) 통과 → 직선: \(y=a(x+3)+1\) (기울기 a만 미지수!)
- 접한다 → 연립 이차방정식의 D=0
- D=0에서 a에 대한 이차방정식 → 두 근의 곱 = 기울기의 곱
y=ax+b로 설정하면 미지수가 a, b 두 개 → 조건이 D=0 하나뿐이라 부족!
y=a(x+3)+1로 설정하면 점 (-3,1) 통과 조건이 자동으로 만족되어 미지수 a 하나만 남음!
→ D=0 하나의 조건으로 a에 대한 이차방정식 → 두 기울기가 두 근!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. 직선을 \(y=a(x+3)+1\)로 설정하고 \(-x^2+2x+5=a(x+3)+1\)을 정리
힌트 2. 정리하면 \(x^2+(a-2)x+3a-4=0\)
힌트 3. D=\((a-2)^2-4(3a-4)=0\) 전개 후 a에 관한 이차방정식의 두 근의 곱을 구하세요!
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
직선: \(y=a(x+3)+1\)
연립: \(-x^2+2x+5 = a(x+3)+1\)
정리: \(x^2+(a-2)x+3a-4=0\)
$$D=(a-2)^2-4(3a-4)=0$$ $$a^2-4a+4-12a+16=0$$ $$a^2-16a+20=0$$
\(a^2-16a+20=0\)의 두 근이 두 직선의 기울기이므로:
두 근의 곱 = \(\dfrac{20}{1} = \boxed{20} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 직선을 y=ax+b로 설정 → 미지수 2개인데 조건이 1개 → 막힘
→ 반드시 점을 지나는 형태 \(y=a(x+3)+1\)로 설정!
❌ 실수 2: D=0 전개 시 \((a-2)^2=a^2-4a+4\)에서 부호 실수
→ \(a^2-16a+20=0\) 전개를 꼼꼼히 확인!
❌ 실수 3: “두 기울기의 곱”을 구해야 하는데 “두 기울기의 합” 16을 답으로 쓰기
→ 근과 계수의 관계: 합=16 (x의 계수 = -(-16)/1), 곱=20 (상수항/1)
📌 외워두면 득점하는 패턴
외부 점 접선 + 근과 계수 패턴
- 점 (p, q) 통과 접선 → \(y=a(x-p)+q\) 설정 → D=0 → a에 대한 이차방정식
- 두 기울기의 합 → 근의 합 → 비에타 공식 (-(x의 계수)/최고차계수)
- 두 기울기의 곱 → 근의 곱 → 비에타 공식 (상수항/최고차계수)
💡 두 기울기를 일일이 구하지 않아도 합·곱을 바로 구할 수 있습니다!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 직선 설정 → D=0 전개 → 근의 곱. 전개 과정에서 계산 실수 검산 필수!
📝 수능 시험: 목표 2분
→ “외부점 접선 → \(y=a(x-p)+q\) → D=0 → 근의 곱” 흐름 자동화
💡 속도 향상: 근의 곱을 구할 때 개별 근 계산 없이 비에타 공식 바로 적용!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 외부 점에서 이차함수 접선 – 기울기의 합·곱 마플시너지 공수1 | D=0 이후 근과 계수 관계 활용 심화- 연산 워크시트 29번 → 근과 계수의 관계 기초 반복
- 개념 포스트 (이차함수와 직선의 관계) → 접선 원리 이해
- 마플시너지 → 외부점 접선 + 근과 계수 복합 심화