쎈 공통수학1 593번 📐 이차함수와 x축의 위치 관계
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 고퀄리티 문제풀이 영상 (YouTube)
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 문제 핵심 분석 & 단서 찾기
- 🧠 판별식 D<0 조건 완전 정복
- ⚠️ 자연수 순서쌍에서 자주 틀리는 포인트
- 💡 외워두면 득점하는 패턴
- ⏱ 내신·수능별 목표 풀이 시간
📱 화면이 꺼지지 않도록 충전기를 연결해두고 조금씩 내려가며 풀어보세요.
어느 단계에서라도 스스로 시도해보세요. 틀려도 괜찮습니다! 각인 효과가 극대화됩니다. 💪
충전기 연결 필수! 태블릿이나 스마트폰에 충전기를 꽂고 화면을 켜둔 채로 풀어보세요.
스크롤을 내리다가 유레카! 하는 순간이 옵니다 🎉
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 – 2ax – b^2 + 9\)의 그래프가 x축과 만나지 않을 조건에서, 자연수 \(a, b\)에 대한 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “x축과 만나지 않는다” → 판별식 \(D < 0\) 조건!
- “자연수 a, b” → \(a \geq 1,\; b \geq 1\) (정수 범위 탐색 필요)
- 최고차계수가 양수(+1)이므로 포물선이 아래로 볼록 → x축과 만나지 않으면 그래프 전체가 x축 위쪽에 있음
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (스스로 먼저 도전!)
STEP 1. \(y = x^2 – 2ax + (-b^2 + 9)\)에서 이차방정식 \(x^2 – 2ax + (-b^2+9) = 0\)의 판별식을 구합니다.
STEP 2. \(\dfrac{D}{4} = a^2 – (-b^2 + 9) < 0\) 에서 조건식을 정리합니다.
STEP 3. 정리된 부등식을 만족하는 자연수 \((a, b)\) 쌍을 나열합니다.
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(y = x^2 – 2ax + (-b^2+9)\)는 \(A=1,\; B=-2a,\; C=-b^2+9\)인 이차함수입니다.
x축과 만나지 않으려면 방정식 \(x^2 – 2ax + (-b^2+9) = 0\)의 판별식이 음수여야 합니다. $$\frac{D}{4} = (-a)^2 – 1 \cdot (-b^2 + 9) = a^2 + b^2 – 9 < 0$$
$$a^2 + b^2 < 9$$ 이 조건을 만족하는 자연수 \(a, b\) (\(a \geq 1,\; b \geq 1\))를 찾습니다.
\(a = 1\)일 때: \(1 + b^2 < 9 \Rightarrow b^2 < 8 \Rightarrow b = 1, 2\)
\(a = 2\)일 때: \(4 + b^2 < 9 \Rightarrow b^2 < 5 \Rightarrow b = 1, 2\)
\(a = 3\)이면: \(9 + b^2 < 9\)인 자연수 없음.
∴ 순서쌍 \((1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\) → 4개 🎯
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: \(a^2 + b^2 \leq 9\)로 등호 포함 → 등호가 있으면 x축과 접하므로 ‘만나지 않음’ 조건에 위배! 반드시 엄밀한 부등호 (<)
❌ 실수 2: 자연수 탐색 시 \(a=3, b=0\) 포함 → 자연수는 1 이상의 정수이므로 \(b=0\) 불가
❌ 실수 3: \(\dfrac{D}{4}\) 계산 시 \((-b^2+9)\)를 \((b^2-9)\)로 뒤집어 부호 실수
📌 외워두면 득점하는 패턴
이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a > 0\))의 x축과의 위치 관계:
- \(D > 0\) → 서로 다른 두 점에서 만남 (두 실근)
- \(D = 0\) → x축에 접함 (한 점, 중근)
- \(D < 0\) → 만나지 않음 (허근, 그래프는 완전히 x축 위)
💡 \(\dfrac{D}{4}\) 공식: \(bx\) 계수가 짝수일 때 사용 → \(\dfrac{D}{4} = \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 – ac\)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분 30초
→ 판별식 계산 후 자연수를 체계적으로 나열. 시간 여유가 있으므로 검산 필수!
📝 수능 시험: 목표 1분 30초
→ \(a^2 + b^2 < 9\)를 원의 내부로 직관적으로 파악 → 격자점 빠르게 세기
💡 원 \(x^2 + y^2 = 9\) 내부의 자연수 격자점 = 즉시 보이는 연습이 필요!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 판별식과 x축 위치관계 유형 모음 마플시너지 공수1 | 이차함수 조건 만족하는 정수쌍 구하기- 연산 워크시트 → 판별식 계산을 손에 익히기
- 개념 포스트 → 이차함수와 판별식의 관계 이해
- 마플시너지 → 다양한 변형 문제로 심화