C단계 고난도 · 인수분해 + 수의 계산 🔥 고난도
📘 0278번 — √{P(16)/n}이 자연수 — 자연수 n의 개수
🎉 쎈 공통수학1 2단원 완주!
나머지정리와 인수분해 전 단원 마스터! 수고 많으셨어요. 다음 단원도 화이팅! 🚀
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
√{(16⁴−9×16²−4×16+12)/n}이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 개수를 구하는 문제
√{(16⁴−9×16²−4×16+12)/n}이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 개수를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x=16으로 치환! P(x)=x⁴−9x²−4x+12. P(1)=0, P(−2)=0 → 인수분해! P(16)=소인수 분해 후 완전제곱수 조건으로 n 결정
✏️ 단계별 풀이 설명
1
x=16 치환 & P(x) 인수분해
P(x) = x⁴−9x²−4x+12
P(1) = 1−9−4+12 = 0 → (x−1) 인수
P(−2) = 16−36+8+12 = 0 → (x+2) 인수
조립제법 2회:
P(x) = (x−1)(x³+x²−8x−12)
= (x−1)(x+2)(x²−x−6)
= (x−1)(x+2)(x+2)(x−3)
= (x−1)(x+2)²(x−3)
P(x) = x⁴−9x²−4x+12
P(1) = 1−9−4+12 = 0 → (x−1) 인수
P(−2) = 16−36+8+12 = 0 → (x+2) 인수
조립제법 2회:
P(x) = (x−1)(x³+x²−8x−12)
= (x−1)(x+2)(x²−x−6)
= (x−1)(x+2)(x+2)(x−3)
= (x−1)(x+2)²(x−3)
2
P(16) 수치 계산
P(16) = (16−1)(16+2)²(16−3)
= 15 × 18² × 13
= 15 × 324 × 13
P(16) = (16−1)(16+2)²(16−3)
= 15 × 18² × 13
= 15 × 324 × 13
3
소인수분해
15 = 3×5
18² = (2×3²)² = 2²×3⁴
13 = 13
P(16) = 2²×3⁵×5×13
15 = 3×5
18² = (2×3²)² = 2²×3⁴
13 = 13
P(16) = 2²×3⁵×5×13
4
P(16)/n이 완전제곱수가 되는 n
P(16)/n = 2²×3⁵×5×13 / n 이 완전제곱수
→ n = 2^a × 3^b × 5^c × 13^d × (나머지 인수)
완전제곱수 조건: 각 소인수의 지수가 짝수
2²÷: 홀수지수 없음 ✓
3⁵÷: 지수5→짝수 만들려면 3¹ 또는 3³ 또는 3⁵ 포함
5¹÷: 5¹ 포함
13¹÷: 13¹ 포함
n은 P(16)/n 이 완전제곱수:
n=3×5×13=195, n=3³×5×13=1755
n=3⁵×5×13=31590…
또는 n이 완전제곱수 배수 포함:
n=5×13=65: 2²×3⁵ → 3⁵ 홀수 ✗
정확한 목록: 홀수 지수인 소인수 처리
2²(짝수✓), 3⁵(홀수→3¹,3³,3⁵ 포함), 5¹(홀수→5 포함), 13¹(홀수→13 포함)
n = 3^α × 5 × 13 (α=1,3,5) → 3가지
또는 n = 4 × 3^α × 5 × 13… 2² 포함 시 지수 증가
총 6가지
P(16)/n = 2²×3⁵×5×13 / n 이 완전제곱수
→ n = 2^a × 3^b × 5^c × 13^d × (나머지 인수)
완전제곱수 조건: 각 소인수의 지수가 짝수
2²÷: 홀수지수 없음 ✓
3⁵÷: 지수5→짝수 만들려면 3¹ 또는 3³ 또는 3⁵ 포함
5¹÷: 5¹ 포함
13¹÷: 13¹ 포함
n은 P(16)/n 이 완전제곱수:
n=3×5×13=195, n=3³×5×13=1755
n=3⁵×5×13=31590…
또는 n이 완전제곱수 배수 포함:
n=5×13=65: 2²×3⁵ → 3⁵ 홀수 ✗
정확한 목록: 홀수 지수인 소인수 처리
2²(짝수✓), 3⁵(홀수→3¹,3³,3⁵ 포함), 5¹(홀수→5 포함), 13¹(홀수→13 포함)
n = 3^α × 5 × 13 (α=1,3,5) → 3가지
또는 n = 4 × 3^α × 5 × 13… 2² 포함 시 지수 증가
총 6가지
5
최종 답
완전제곱수 조건 만족하는 자연수 n = 6개 → 정답 ③
완전제곱수 조건 만족하는 자연수 n = 6개 → 정답 ③
정답: ③ 6
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
큰 수 계산+제곱근 = 치환 후 인수분해 → 수치 계산 → 소인수분해 → 완전제곱수 조건 → n의 범위 탐색
⚠️ 이것만 조심하세요!
P(x)의 인수분해에서 (x+2)²을 놓치거나, P(16)/n이 완전제곱수가 되는 n을 빠뜨리는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 공식, 소인수분해, 조건 정리를 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 마무리! 마플시너지로 실력을 점검하세요.
🗺️ 추천 학습 순서
✍️ 연산 워크시트
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🎯 마플시너지
기초부터 탄탄히 쌓아야 고난도가 보입니다. 2단원 완주 축하드립니다! 🎉🚀