C단계 고난도 · 보기형 🔥 고난도
📘 0275번 — a³−b³−a²b+ab²−ac²+bc²=0 — 삼각형 모양 보기 판별
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
삼각형의 세 변 a, b, c에 대해 a³−b³−a²b+ab²−ac²+bc²=0이 성립할 때, 보기(ㄱ. a>b이면 직각삼각형 / ㄴ. b>c이면 이등변삼각형 / ㄷ. b≥c이면 a≥c)에서 옳은 것을 고르는 문제
삼각형의 세 변 a, b, c에 대해 a³−b³−a²b+ab²−ac²+bc²=0이 성립할 때, 보기(ㄱ. a>b이면 직각삼각형 / ㄴ. b>c이면 이등변삼각형 / ㄷ. b≥c이면 a≥c)에서 옳은 것을 고르는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
주어진 식을 인수분해: b를 기준으로 정리하면 (a−b)(a²+b²−c²)=0! a=b(이등변) 또는 a²+b²=c²(직각) 두 가지 경우로 보기 각각 판별
✏️ 단계별 풀이 설명
1
인수분해
a³−b³−a²b+ab²−ac²+bc²
= a²(a−b)−b²(a−b)−c²(a−b)
= (a−b)(a²−b²−c²)
= (a−b)(a²+b²−c²) … 확인:
(a−b){(a−b)(a+b)+b²−b²−c²}=…
실제: a³−a²b+ab²−b³−ac²+bc²=(a²−b²)(a−b)−c²(a−b)
= (a−b)(a²−b²−c²)
→ (a−b)(a²−b²−c²)=0
a³−b³−a²b+ab²−ac²+bc²
= a²(a−b)−b²(a−b)−c²(a−b)
= (a−b)(a²−b²−c²)
= (a−b)(a²+b²−c²) … 확인:
(a−b){(a−b)(a+b)+b²−b²−c²}=…
실제: a³−a²b+ab²−b³−ac²+bc²=(a²−b²)(a−b)−c²(a−b)
= (a−b)(a²−b²−c²)
→ (a−b)(a²−b²−c²)=0
2
두 경우 정리
① a=b (이등변삼각형)
② a²=b²+c² (직각삼각형, 빗변=a)
① a=b (이등변삼각형)
② a²=b²+c² (직각삼각형, 빗변=a)
3
ㄱ 검증 — a>b이면?
a>b → a−b≠0 → a²=b²+c²
→ 빗변이 a인 직각삼각형 ✓
ㄱ 성립
a>b → a−b≠0 → a²=b²+c²
→ 빗변이 a인 직각삼각형 ✓
ㄱ 성립
4
ㄴ 검증 — b>c이면?
경우①: a=b이면 삼각부등식 ac 가능
경우②: a²=b²+c², b>c이면 a>c 가능
→ 반드시 이등변이라고 할 수 없음
ㄴ 불성립
경우①: a=b이면 삼각부등식 a
경우②: a²=b²+c², b>c이면 a>c 가능
→ 반드시 이등변이라고 할 수 없음
ㄴ 불성립
5
ㄷ 검증 & 최종 답
b≥c일 때 a≥c인지?
경우①: a=b≥c → a≥c ✓
경우②: a²=b²+c²≥c²+c²=2c² → a≥√2c>c → a>c ✓
두 경우 모두 a≥c → ㄷ 성립
→ 정답 ③ (ㄱ, ㄷ)
b≥c일 때 a≥c인지?
경우①: a=b≥c → a≥c ✓
경우②: a²=b²+c²≥c²+c²=2c² → a≥√2c>c → a>c ✓
두 경우 모두 a≥c → ㄷ 성립
→ 정답 ③ (ㄱ, ㄷ)
정답: ③ ㄱ, ㄷ
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
세 변 관계식 인수분해 → 두 경우(이등변 or 직각) → 각 보기 조건에서 어느 경우인지 삼각부등식으로 판별
⚠️ 이것만 조심하세요!
(a−b)(a²+b²−c²)=0의 두 경우를 모두 분석하지 않거나, 각 보기 조건에서 어떤 경우가 적용되는지 판단하지 못하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태, 보조식 설정, 치환 방향을 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
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