C단계 고난도 · 교육청 기출 🔥 고난도
📘 0272번 — n⁴+n²−2가 (n−1)(n−2)의 배수 — 최대 n (교육청 기출)
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
자연수 n에 대해 n⁴+n²−2가 (n−1)(n−2)의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최댓값을 구하는 문제
자연수 n에 대해 n⁴+n²−2가 (n−1)(n−2)의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최댓값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
n⁴+n²−2를 (n−1)(n−2)로 나눠보자! 몫과 나머지를 구하면 나머지가 18(n−1)임을 알 수 있음. 18(n−1)이 (n−2)의 배수 → n−2가 18의 약수!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
n⁴+n²−2 인수분해 시작
n⁴+n²−2 = (n²+2)(n²−1) = (n²+2)(n+1)(n−1)
또는 직접 (n−1)(n−2)로 나눔
n⁴+n²−2 = (n²+2)(n²−1) = (n²+2)(n+1)(n−1)
또는 직접 (n−1)(n−2)로 나눔
2
(n−1)(n−2)로 나눈 나머지 추출
n⁴+n²−2를 n=1 대입: 0 → (n−1) 인수
n⁴+n²−2 = (n−1)(n³+n²+2n+2)
= (n−1)(n²(n+1)+2(n+1)) = (n−1)(n+1)(n²+2)
이것을 (n−2)로 나눌 때:
n=2 대입: (1)(3)(6)=18
→ (n−1)(n+1)(n²+2) = (n−2)·Q(n)+18(n−1)
n⁴+n²−2를 n=1 대입: 0 → (n−1) 인수
n⁴+n²−2 = (n−1)(n³+n²+2n+2)
= (n−1)(n²(n+1)+2(n+1)) = (n−1)(n+1)(n²+2)
이것을 (n−2)로 나눌 때:
n=2 대입: (1)(3)(6)=18
→ (n−1)(n+1)(n²+2) = (n−2)·Q(n)+18(n−1)
3
배수 조건 정리
n⁴+n²−2 = (n−1)(n−2)·Q(n)+18(n−1)
(n−1)(n−2)의 배수가 되려면 나머지 18(n−1)이 (n−2)의 배수!
n≥3이면 n−1≠0 → 18이 (n−2)의 배수 또는 (n−2)가 18의 약수
n⁴+n²−2 = (n−1)(n−2)·Q(n)+18(n−1)
(n−1)(n−2)의 배수가 되려면 나머지 18(n−1)이 (n−2)의 배수!
n≥3이면 n−1≠0 → 18이 (n−2)의 배수 또는 (n−2)가 18의 약수
4
n−2가 18의 약수 → n 결정
18의 양의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
n−2=18 → n=20 (최댓값)
나머지: n=3,4,5,8,11,20
→ 최댓값 n=20
18의 양의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
n−2=18 → n=20 (최댓값)
나머지: n=3,4,5,8,11,20
→ 최댓값 n=20
5
n=1, 2 특수 경우 확인
n=1: 0이므로 배수 ✓
n=2: 0이므로 배수 ✓
→ 모든 경우 중 최댓값 = 20
n=1: 0이므로 배수 ✓
n=2: 0이므로 배수 ✓
→ 모든 경우 중 최댓값 = 20
정답: 20
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
A가 BC의 배수 → A=BC·k+r, r=0 조건 → r이 B 또는 C의 배수 조건으로 변환 → 약수 탐색
⚠️ 이것만 조심하세요!
n⁴+n²−2를 (n−1)(n−2)로 나누는 과정에서 나머지를 정확히 구하지 못하거나, 18의 약수를 모두 조사하지 않는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태, 보조식 설정, 치환 방향을 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
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