C단계 고난도 · 복이차식 🔥 고난도
📘 0269번 — n⁴−16n²+100이 소수 — n 결정
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
자연수 n에 대해 n⁴−16n²+100이 소수가 되도록 하는 자연수 n의 값을 구하는 문제
자연수 n에 대해 n⁴−16n²+100이 소수가 되도록 하는 자연수 n의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
n⁴−16n²+100 = (n²+10)²−36n² = (n²+6n+10)(n²−6n+10). 소수가 되려면 인수 중 하나=1! n²−6n+10=(n−3)²+1≥1. (n−3)²=0이면 n=3!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
완전제곱식 변형 — 핵심 아이디어
n⁴−16n²+100
= (n⁴+20n²+100)−36n²
= (n²+10)²−(6n)²
n⁴−16n²+100
= (n⁴+20n²+100)−36n²
= (n²+10)²−(6n)²
2
합차 인수분해
= (n²+6n+10)(n²−6n+10)
= (n²+6n+10)(n²−6n+10)
3
두 인수 비교 — 크기 분석
n²+6n+10 = (n+3)²+1 ≥ 10 (n≥1이면)
n²−6n+10 = (n−3)²+1 ≥ 1
항상 n²+6n+10 > n²−6n+10 (n>0이면)
n²+6n+10 = (n+3)²+1 ≥ 10 (n≥1이면)
n²−6n+10 = (n−3)²+1 ≥ 1
항상 n²+6n+10 > n²−6n+10 (n>0이면)
4
소수 조건 적용
A×B가 소수 → 둘 중 하나=1, 다른 하나=소수
n²−6n+10=1 (더 작은 쪽이 1)
(n−3)²=0
→ n=3
A×B가 소수 → 둘 중 하나=1, 다른 하나=소수
n²−6n+10=1 (더 작은 쪽이 1)
(n−3)²=0
→ n=3
5
확인 & 최종 답
n=3: (9+18+10)(9−18+10)=37×1=37 (소수 ✓)
→ n=3
n=3: (9+18+10)(9−18+10)=37×1=37 (소수 ✓)
→ n=3
정답: 3
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
복이차식 소수화 문제: ①(n²+k)²−(cn)² 꼴로 변형 ②두 인수의 합차 인수분해 ③소수 조건 → 인수 하나=1 → 방정식 풀기
⚠️ 이것만 조심하세요!
(n²+10)²−(6n)² 변형 아이디어를 떠올리지 못하거나, 소수가 되려면 두 인수 중 하나가 반드시 1이어야 한다는 조건을 놓치는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해가 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
4~5분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
3분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태나 보조식 설정 아이디어를 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
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