쎈 공통수학1 · 2단원 · C단계 고난도 — 항등식·나머지정리 심화 🔥 고난도
📘 0260번 — (x−3)²으로 나눈 나머지 조건 — ab 계산
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 기본 개념을 완전히 익힌 후 도전하세요. 풀이 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 스스로 재현해 보는 것을 추천합니다.
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도 문제일수록 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 후, 스스로 재현해 보는 연습이 중요해요! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
xⁿ(x²+ax+b)를 (x−3)²으로 나눈 나머지가 3ⁿ(x−3)일 때, ab의 값을 구하는 문제 (n은 자연수)
xⁿ(x²+ax+b)를 (x−3)²으로 나눈 나머지가 3ⁿ(x−3)일 때, ab의 값을 구하는 문제 (n은 자연수)
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
(x−3)²으로 나눈 나머지=3ⁿ(x−3)이면 x=3 대입: 3ⁿ(9+3a+b)=0 → 9+3a+b=0. 또 나머지 형태에서 x=3 한 번 더 이용!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
나누어떨어짐 조건 표현
xⁿ(x²+ax+b) = (x−3)²Q(x) + 3ⁿ(x−3)
= (x−3){(x−3)Q(x) + 3ⁿ}
xⁿ(x²+ax+b) = (x−3)²Q(x) + 3ⁿ(x−3)
= (x−3){(x−3)Q(x) + 3ⁿ}
2
x=3 대입 — 1차 조건
3ⁿ(9+3a+b) = (3−3)²Q(3)+3ⁿ(3−3) = 0
3ⁿ≠0이므로: 9+3a+b=0 → b=−3a−9 … ①
3ⁿ(9+3a+b) = (3−3)²Q(3)+3ⁿ(3−3) = 0
3ⁿ≠0이므로: 9+3a+b=0 → b=−3a−9 … ①
3
①을 대입하여 식 정리
x²+ax+b = x²+ax+(−3a−9)
= x²+ax−3a−9 = (x+a+3)(x−3)… 확인
실제로: x²+ax−3(a+3) = (x+a+3)(x−3) ✓
x²+ax+b = x²+ax+(−3a−9)
= x²+ax−3a−9 = (x+a+3)(x−3)… 확인
실제로: x²+ax−3(a+3) = (x+a+3)(x−3) ✓
4
xⁿ(x+a+3)(x−3) ÷ (x−3)² 조건
xⁿ(x+a+3)(x−3) = (x−3)²Q(x)+3ⁿ(x−3)
xⁿ(x+a+3) = (x−3)Q(x)+3ⁿ
x=3 대입: 3ⁿ(3+a+3) = 3ⁿ
3+a+3 = 1 → a=−5
xⁿ(x+a+3)(x−3) = (x−3)²Q(x)+3ⁿ(x−3)
xⁿ(x+a+3) = (x−3)Q(x)+3ⁿ
x=3 대입: 3ⁿ(3+a+3) = 3ⁿ
3+a+3 = 1 → a=−5
5
b 결정 & ab 계산
①에서: b=−3(−5)−9=15−9=6
ab = (−5)×6 = −30
①에서: b=−3(−5)−9=15−9=6
ab = (−5)×6 = −30
정답: −30
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
(x−α)²으로 나눈 나머지 문제: ①x=α 대입 → 나머지의 x=α 값 ②나머지가 k(x−α) 꼴이면 x=α에서 0 → 피제식에서 조건 추출
⚠️ 이것만 조심하세요!
3ⁿ≠0 조건에서 x²+ax+b를 분리하는 것을 놓치거나, 이중 조건에서 연립방정식 세우기를 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
고난도 문제는 시간이 더 걸립니다. 처음엔 시간 제한 없이 완전히 이해하는 것이 우선이에요!
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도 문제는 ‘조건을 하나씩 처리하는 순서’가 핵심! 가장 단순한 조건(x=0 대입, 수치 조건)으로 먼저 미정계수를 줄이고, 남은 조건으로 완성하세요.
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 도전 전, 마플시너지로 B단계 심화를 완성하세요!
🗺️ 추천 학습 순서
✍️ 연산 워크시트
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📖 개념 포스트
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🎯 마플시너지
고난도 문제는 기초가 탄탄해야 합니다. 연산 → 개념 → 마플시너지 순서로 체계적으로 쌓아 올리세요! 🚀