쎈 공통수학1 · 2단원 · 항등식과 나머지정리
📘 0200번 — 몫의 나머지 — 이중 나눗셈 구조
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
P(x)를 x²+x+1로 나눈 몫이 Q(x), 나머지가 x−12이고, Q(x)를 x−1로 나눈 나머지가 1일 때, P(x)를 x³−1로 나눈 나머지 R(x)에 대해 R(1)의 값을 구하는 문제
P(x)를 x²+x+1로 나눈 몫이 Q(x), 나머지가 x−12이고, Q(x)를 x−1로 나눈 나머지가 1일 때, P(x)를 x³−1로 나눈 나머지 R(x)에 대해 R(1)의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x³−1=(x−1)(x²+x+1) → P(x)를 x³−1로 나누는 것은 (x−1)과 (x²+x+1)을 연속으로 나누는 것!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
주어진 조건 정리
P(x) = (x²+x+1)·Q(x)+(x−12) … ①
Q(x)를 x−1로 나눈 나머지 = 1
→ Q(x) = (x−1)·Q'(x)+1 … ②
P(x) = (x²+x+1)·Q(x)+(x−12) … ①
Q(x)를 x−1로 나눈 나머지 = 1
→ Q(x) = (x−1)·Q'(x)+1 … ②
2
핵심 인수분해 파악
x³−1 = (x−1)(x²+x+1)
이 구조를 이용해 P를 x³−1로 나눈 나머지를 구합니다!
x³−1 = (x−1)(x²+x+1)
이 구조를 이용해 P를 x³−1로 나눈 나머지를 구합니다!
3
②를 ①에 대입
①에 ②를 대입:
P(x) = (x²+x+1)·{(x−1)Q'(x)+1}+(x−12)
= (x²+x+1)(x−1)Q'(x)+(x²+x+1)+(x−12)
= (x³−1)Q'(x)+(x²+x+1+x−12)
①에 ②를 대입:
P(x) = (x²+x+1)·{(x−1)Q'(x)+1}+(x−12)
= (x²+x+1)(x−1)Q'(x)+(x²+x+1)+(x−12)
= (x³−1)Q'(x)+(x²+x+1+x−12)
4
나머지 R(x) 정리
R(x) = x²+x+1+x−12 = x²+2x−11
R(x) = x²+x+1+x−12 = x²+2x−11
5
R(1) 계산
R(1) = 1+2−11 = −8
R(1) = 1+2−11 = −8
정답: −8
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
이중 나눗셈: P=(A)Q+r₁, Q=(B)Q’+r₂ → P=(AB)Q’+(A)r₂+r₁ 구조로 나머지 결정
⚠️ 이것만 조심하세요!
x³−1=(x−1)(x²+x+1)의 인수분해를 떠올리지 못하거나, Q(x)를 (x−1)Q'(x)+1로 대입하는 과정에서 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
4~5분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
3분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: 나눗셈 등식 A=BQ+R을 항상 먼저 세우고, 필요한 x값을 대입하는 흐름을 자동화하세요. 몫Q(a)가 필요한 경우 원래 등식에 x=a를 직접 대입하면 바로 해결됩니다!
🖼️ 해설 이미지
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✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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