쎈 공통수학1 · 2단원 · 항등식과 나머지정리
📘 0191번 — 삼차식으로 나눈 나머지 — 세 근 대입
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
x¹⁵−x¹⁰+x⁵−1을 x³−x로 나눈 나머지 R(x)에 대해 R(−2)의 값을 구하는 문제
x¹⁵−x¹⁰+x⁵−1을 x³−x로 나눈 나머지 R(x)에 대해 R(−2)의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x³−x = x(x+1)(x−1) → 세 근 x=0, x=1, x=−1을 각각 대입하면 이차 나머지의 세 계수 결정 가능
✏️ 단계별 풀이 설명
1
제식 인수분해 & 나머지 설정
x³−x = x(x+1)(x−1)
세 근: x=0, x=−1, x=1
나머지 R(x) = ax²+bx+c로 놓기
x³−x = x(x+1)(x−1)
세 근: x=0, x=−1, x=1
나머지 R(x) = ax²+bx+c로 놓기
2
x=0 대입 → c 결정
f(0) = 0−0+0−1 = −1
R(0) = c = −1
f(0) = 0−0+0−1 = −1
R(0) = c = −1
3
x=1 대입
f(1) = 1−1+1−1 = 0
R(1) = a+b+c = 0
a+b+(−1) = 0 → a+b = 1 … ①
f(1) = 1−1+1−1 = 0
R(1) = a+b+c = 0
a+b+(−1) = 0 → a+b = 1 … ①
4
x=−1 대입
f(−1) = (−1)¹⁵−(−1)¹⁰+(−1)⁵−1
= −1−1−1−1 = −4
R(−1) = a−b+c = −4
a−b−1 = −4 → a−b = −3 … ②
f(−1) = (−1)¹⁵−(−1)¹⁰+(−1)⁵−1
= −1−1−1−1 = −4
R(−1) = a−b+c = −4
a−b−1 = −4 → a−b = −3 … ②
5
연립방정식 & R(−2) 계산
①+②: 2a=−2 → a=−1
①에 대입: b=2
R(x) = −x²+2x−1
R(−2) = −4−4−1 = −9 → 정답 ③
①+②: 2a=−2 → a=−1
①에 대입: b=2
R(x) = −x²+2x−1
R(−2) = −4−4−1 = −9 → 정답 ③
정답: −9 (③)
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
삼차식 나눗셈: ①제식 인수분해로 3개 근 확보 ②나머지=ax²+bx+c ③각 근 대입 → 3×3 연립방정식
⚠️ 이것만 조심하세요!
x³−x를 인수분해하여 세 근 0, 1, −1을 구하는 것을 놓치거나, 높은 거듭제곱 대입 시 계산 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
3~4분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
2분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: P(f(x))를 g(x)로 나눈 나머지는 g(x)=0의 해 x=a에서 P(f(a))를 바로 계산하는 흐름을 자동화하세요. 치환이 빠를수록 풀이가 짧아집니다!
🖼️ 해설 이미지
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✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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