쎈 공통수학1 · 2단원 · 항등식과 나머지정리
📘 0169번 — 조건부 항등식
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
x−y=1을 만족시키는 모든 실수 x, y에 대하여 등식 px²+qx+y²−2xy+ry+2=0이 성립할 때, 상수 p, q, r에 대하여 pqr의 값을 구하는 서술형 문제
x−y=1을 만족시키는 모든 실수 x, y에 대하여 등식 px²+qx+y²−2xy+ry+2=0이 성립할 때, 상수 p, q, r에 대하여 pqr의 값을 구하는 서술형 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x−y=1 조건 → y=x−1로 변환해서 대입하면 식이 x만의 함수가 되고, 이걸 항등식으로 처리
✏️ 단계별 풀이 설명
1
조건 변환
x−y=1 → y = x−1 로 바꿔 줍니다.
이제 주어진 식에 y=x−1을 대입할 준비 완료!
x−y=1 → y = x−1 로 바꿔 줍니다.
이제 주어진 식에 y=x−1을 대입할 준비 완료!
2
y=x−1 대입
px²+qx+(x−1)²−2x(x−1)+r(x−1)+2=0
y² = (x−1)² = x²−2x+1
−2xy = −2x(x−1) = −2x²+2x
ry = r(x−1) = rx−r
px²+qx+(x−1)²−2x(x−1)+r(x−1)+2=0
y² = (x−1)² = x²−2x+1
−2xy = −2x(x−1) = −2x²+2x
ry = r(x−1) = rx−r
3
전개 및 정리
전체 전개:
px²+qx+x²−2x+1−2x²+2x+rx−r+2 = 0
x²의 계수: p+1−2 = p−1
x의 계수: q−2+2+r = q+r
상수항: 1−r+2 = 3−r
전체 전개:
px²+qx+x²−2x+1−2x²+2x+rx−r+2 = 0
x²의 계수: p+1−2 = p−1
x의 계수: q−2+2+r = q+r
상수항: 1−r+2 = 3−r
4
항등식 조건 적용
이 식이 x에 대한 항등식이므로 각 계수=0:
x²: p−1=0 → p=1
x: q+r=0
상수: 3−r=0 → r=3
→ q+3=0 → q=−3
이 식이 x에 대한 항등식이므로 각 계수=0:
x²: p−1=0 → p=1
x: q+r=0
상수: 3−r=0 → r=3
→ q+3=0 → q=−3
5
최종 답
pqr = 1×(−3)×3 = −9
pqr = 1×(−3)×3 = −9
정답: −9
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
조건식이 있는 항등식: 조건식에서 y를 x로 표현 → 대입 → x에 대한 항등식 → 각 계수=0
⚠️ 이것만 조심하세요!
y=x−1을 대입하는 아이디어를 떠올리지 못하거나, 대입 후 전개에서 항을 빠뜨리는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
3~4분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
2~3분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: x=0, x=1, x=−1 대입 결과가 각각 “상수항”, “전체 합”, “교대 합”이 된다는 것을 완전히 체화하세요. 이 세 가지만 알면 이 유형은 30초~1분 안에 풀 수 있습니다!
🖼️ 해설 이미지
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✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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