C단계 서술형 🏆 최상
🔥 0405번 — z²+z̄=0 조건 — 세 자리 최솟값 (서술형)
📝🏆 서술형 고난도! z²+z̄=0에서 z를 결정하고, zⁿ이 정수가 되는 n의 조건을 찾아 세 자리 최솟값을 구하는 복합 문제! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z=a+bi(a>0,b>0)에서 z²+z̄=0일 때, zⁿ이 정수가 되는 세 자리 자연수 n의 최솟값을 구하는 서술형 문제
z=a+bi(a>0,b>0)에서 z²+z̄=0일 때, zⁿ이 정수가 되는 세 자리 자연수 n의 최솟값을 구하는 서술형 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z²+z̄=0을 z=a+bi로 풀면 a=1/2, b=√3/2! 즉 z=(1+√3i)/2. 이 복소수의 거듭제곱 주기는 6이에요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z²+z̄=0 전개
z² = (a²−b²)+2abi
z̄ = a−bi
z²+z̄ = (a²−b²+a)+(2ab−b)i = 0
z² = (a²−b²)+2abi
z̄ = a−bi
z²+z̄ = (a²−b²+a)+(2ab−b)i = 0
2
상등 조건
실수: a²−b²+a = 0 …①
허수: 2ab−b = 0 → b(2a−1) = 0
b>0이므로 a = 1/2
실수: a²−b²+a = 0 …①
허수: 2ab−b = 0 → b(2a−1) = 0
b>0이므로 a = 1/2
3
b 구하기
①에 대입: 1/4−b²+1/2 = 0
b² = 3/4 → b = √3/2 (b>0)
z = (1+√3i)/2
①에 대입: 1/4−b²+1/2 = 0
b² = 3/4 → b = √3/2 (b>0)
z = (1+√3i)/2
4
z의 거듭제곱 주기
z² = (−1+√3i)/2
z³ = −1
z⁶ = 1 → 주기 6
zⁿ이 정수: z³=−1, z⁶=1 → n이 3의 배수
z² = (−1+√3i)/2
z³ = −1
z⁶ = 1 → 주기 6
zⁿ이 정수: z³=−1, z⁶=1 → n이 3의 배수
5
세 자리 최솟값
세 자리 자연수 중 3의 배수 최솟값
= 102 (100÷3=33…1, 101÷3=33…2, 102÷3=34)
세 자리 자연수 중 3의 배수 최솟값
= 102 (100÷3=33…1, 101÷3=33…2, 102÷3=34)
정답: 102
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z²+z̄=0 → z=(1+√3i)/2 (주기 6)
zⁿ이 정수: n=3k일 때 zⁿ=±1
세 자리 최솟값: 100 이상인 첫 3의 배수 = 102
⚠️ 이것만 조심하세요!
z²+z̄=0에서 a=1/2를 도출한 뒤 b=√3/2를 구하는 과정이 핵심! 또한 z³=−1(정수)이지만 z²=(−1+√3i)/2(정수 아님)이므로 ‘3의 배수’가 조건이에요.
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선!
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
5~6분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 서술형이므로 ① z 결정 → ② 주기 확인 → ③ 정수 조건 → ④ 최솟값 순서를 명확히!
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀